Whatsapp icon Whatsapp

Função raiz

A função é uma função raiz quando possui variável dentro do radical. Ela é considerada uma função irracional, pois a maioria dos valores da imagem é irracional.
Gráfico da função raiz quadrada.
Gráfico da função raiz quadrada.

A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.

O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.

Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função raiz

  • A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.

  • É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.

  • Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.

  • Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

  • A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.

Função raiz: o que é?

Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:

Lei de formação de algumas funções raiz

  • \(f\left(x\right)=\sqrt x\)

  • \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\)

  • \(h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}\)

  • \(i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}\)

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como é o cálculo da função raiz?

Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.

Exemplos de cálculo da função raiz

  • Exemplo 1:

Dada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule:

a) \(f\left(13\right)\)

b) \(f\left(7\right)\)

Resolução:

a) \(f\left(13\right)\)

Quando x = 13, temos:

\(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\)

b) \(f\left(7\right)\)

Quando x = 7, temos:

\(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\)

Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.

  • Exemplo 2:

Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\).

Resolução:

\(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\)

\(g\left(8\right)=2+16\)

\(g\left(8\right)=18\)

Domínio de uma função raiz

No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

  • Exemplo:

Considere a função a seguir:

\(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\)

Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?

Resolução:

Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:

\(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \)

\(3x\ \geq\ -\ 4\ \)

\(x\geq-\frac{4}{3}\)

Assim, o domínio dessa função é:

\({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)

Quando o índice da função raiz é ímpar, o domínio da função não tem restrição, podendo ser o conjunto dos números reais.

Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?

Gráfico da função raiz

O gráfico da função raiz é sempre crescente.

  • Exemplos:

Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:

Gráfico da função raiz com índice par.
Gráfico da função raiz com índice par.

Perceba que ao aumentar o valor do índice, a função continua crescente.

Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.

Gráfico da função raiz com índice ímpar.
Gráfico da função raiz com índice ímpar.

Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir:

I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\).

II) \(f\left(-4\right)=-2\)

III) Essa função é uma função raiz.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I) Falsa

Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.

II) Verdadeira

Calculando \(f\left(-4\right)\), temos:

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\)

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\)

\(f\left(-4\right)=-2\)

III) Verdadeira

Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.

Questão 2

Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\)

B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\)

C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\)

D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\)

Resolução:

Alternativa C

Analisando a lei de formação, temos:

\(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\)

\(2x\ \geq\ -6\)

\(x\geq\frac{-6}{2}\)

\(x\ \geq\ -3\ \)

Portanto:

\(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos Relacionados

Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Conheça a definição de função, de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função. Saiba qual a relação entre todos esses elementos observando os exemplos.
As formulações matemáticas que envolvem equações podem ser estruturadas por meio de funções
Função
Entenda a definição de função e como ela pode ser aplicada para a resolução de situações-problema.
Função do 1º grau
Você sabe qual a formação de uma função do 1º grau? Clique aqui e aprenda!
Função exponencial
Clique aqui e conheça a função exponencial. Aprenda como fazer a análise e construir o gráfico desse tipo de função. Teste sua compreensão resolvendo os exercícios.
Função inversa
Clique aqui e entenda o que é função inversa. Aprenda quais funções admitem inversa. Encontre a lei de formação de uma função inversa. Resolva questões sobre o tema.
Função logarítmica
Conheça a definição da função logarítmica, aprenda a construir seu gráfico e a identificar se ele será crescente ou decrescente. Resolva os exercícios sobre o tema.
A raiz quadrada é uma operação básica da Matemática.
Raiz quadrada
Conheça a operação matemática raiz quadrada, aprenda a como calculá-la e veja os tipos existentes.
video icon
Sociologia
O que é apoliticismo?
É possível viver coletivamente fora das instituições políticas formais? Veja isso e muito mais nesta videoaula sobre o apoliticismo.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Videoaula Brasil Escola
Matemática
Área da esfera
Clique para aprender a calcular a área da esfera.
video icon
Videoaula Brasil Escola
Inglês
Estrangeirismo
Nessa videoaula você entende sobre o estrangeirismo na música "Samba do Approach."
video icon
videoaula brasil escola
História
Crise de 1929
A quebra da bolsa de valores de Nova Iorque afetou não só os EUA, como o mundo. Entenda!