Função raiz

A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.

O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.

Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função raiz

• A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.

• É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.

• Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.

• Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

• A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.

Função raiz: o que é?

Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:

➝ Lei de formação de algumas funções raiz

• $f\left(x\right)=\sqrt x$

• $g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}$

• $h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}$

• $i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}$

Como é o cálculo da função raiz?

Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.

➝ Exemplos de cálculo da função raiz

• Exemplo 1:

Dada a função $f\left(x\right)=\sqrt{x-4}$, calcule:

a) $f\left(13\right)$

b) $f\left(7\right)$

Resolução:

a) $f\left(13\right)$

Quando x = 13, temos:

$f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3$

b) $f\left(7\right)$

Quando x = 7, temos:

$f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3$

Como a $\sqrt3$ é um número irracional, podemos afirmar que $f\left(7\right)=\sqrt3$. Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.

• Exemplo 2:

Dada a função $g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x$, calcule $g\left(8\right)$.

Resolução:

$g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8$

$g\left(8\right)=2+16$

$g\left(8\right)=18$

Domínio de uma função raiz

No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

• Exemplo:

Considere a função a seguir:

$f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}$

Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?

Resolução:

Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:

$3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ $

$3x\ \geq\ -\ 4\ $

$x\geq-\frac{4}{3}$

Assim, o domínio dessa função é:

${\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}$

Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?

Gráfico da função raiz

O gráfico da função raiz é sempre crescente.

• Exemplos:

Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:

Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.

Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Analisando a função $\ f:\ A\ \rightarrow B\ $, com lei de formação $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}$, julgue as afirmativas a seguir:

I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que $x\geq\ 4$.

II) $f\left(-4\right)=-2$

III) Essa função é uma função raiz.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I) Falsa

Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.

II) Verdadeira

Calculando $f\left(-4\right)$, temos:

$f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}$

$f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}$

$f\left(-4\right)=-2$

III) Verdadeira

Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.

Questão 2

Analisando a função $f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}$ no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}$

B) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}$

C) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}$

D) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}$

Resolução:

Alternativa C

Analisando a lei de formação, temos:

$2x\ +\ 6\ \geq\ 0$

$2x\ \geq\ -6$

$x\geq\frac{-6}{2}$

$x\ \geq\ -3\ $

Portanto:

$D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3$