Whatsapp icon Whatsapp

Interseções entre uma reta e uma parábola

As interseções entre uma reta e uma parábola são pontos de encontro entre essas duas figuras que podem ter suas coordenadas encontradas por meio da solução de sistemas.
Interseções são os pontos de encontro entre a parábola e a reta
Interseções são os pontos de encontro entre a parábola e a reta

Uma reta é um conjunto de pontos representado geometricamente por uma linha infinita que não faz curva. Uma parábola é um conjunto de pontos cuja distância entre eles e um ponto fixo chamado foco é igual à distância entre esses pontos e uma reta também fixa.

Uma reta pode não ter pontos em comum com a parábola, assim como pode ter um ou, no máximo, dois pontos em comum com ela. Para encontrar esses pontos, os procedimentos são parecidos aos do ponto de interseção entre duas retas, com alguns detalhes e cálculos a mais.

Coordenadas do ponto de interseção

Suponha que a reta ax + by + c = 0 encontre a parábola dx2 + ex + f = y no ponto P. Esse ponto pode não ser único, uma vez que a reta pode ter até dois pontos de interseção com a parábola. No ponto P, os valore de x e y são os mesmos tanto para a reta quanto para a parábola e essa é justamente a hipótese necessária para que as suas equações sejam compreendidas como um sistema.

Portanto, para encontrar os pontos de encontro entre uma reta e uma parábola, será necessário resolver um sistema que possui uma equação do segundo grau.

Exemplo: Quais os pontos de encontro entre a reta x + y – 2 = 0 e a parábola y – x2 = 0?

Para solucionar esse problema, construa um sistema com essas duas equações:

Resolveremos esse sistema pelo método da substituição. Assim, na segunda equação, encontre o valor algébrico de y:

x + y – 2 = 0

y = 2 – x

Na primeira equação, substitua o valor algébrico encontrado para y:

y – x2 = 0

(2 – x) – x2 = 0

2 – x – x2 = 0

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Agora, resolva a equação do segundo grau resultante.

a = – 1, b = – 1 e c = 2

x = – b ± √(b2 – 4·a·c)
        2a

x = – (– 1) ± √((– 1)2 – 4·(– 1)·2)
        2·(– 1)

x = 1 ± √(1 + 8)
              – 2         

x = 1 ± √9
    – 2

x = 1 ± 3
       – 2 

x’ = 1 + 3 = 4 = – 2
  – 2    – 2  

x” = 1 – 3 = – 2 = 1
  – 2      – 2

Ainda falta descobrir os valores de y do sistema. Para isso, escolha uma das equações e substitua os dois valores numéricos encontrados para x.

x + y – 2 = 0

y = 2 – x

y’ = 2 – (– 2) = 4

y” = 2 – 1 = 1

Assim, as coordenadas dos pontos de encontro entre essa reta e essa parábola são:

A (x’, y’)

B (x”, y”)

Com a resolução do sistema, essas coordenadas são:

A (– 2, 4)

B (1, 1)

A imagem a seguir mostra os gráficos da reta e da parábola desse exemplo e os pontos de encontro entre elas.

Propriedades

Após a primeira substituição, sempre encontraremos uma equação do segundo grau para ser resolvida. A partir do discriminante dessa equação, podemos analisar o número de pontos de encontro entre a parábola e a reta:

Se ∆ > 0, existem dois pontos de encontro entre parábola e reta.

Se ∆ = 0, existe um ponto de encontro entre parábola e reta.

Se ∆ < 0, Não existem pontos de encontro entre parábola e reta.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Distância entre dois pontos no espaço
Clique para aprender a calcular a distância entre dois pontos no espaço e o modo como ela é obtida pelo Teorema de Pitágoras!
Equação geral da reta
Conheça a equação geral da reta e aprenda a representá-la graficamente. Confira ainda exercícios resolvidos sobre o assunto.
O que são conjuntos numéricos?
Descubra o que são conjuntos numéricos e saiba quais são os elementos dos conjuntos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Pontos Notáveis da Parábola
Determinando o vértice da parábola.
Retas
Confira as principais ideias que envolvem retas e algumas propriedades básicas dessa figura geométrica!
Sistema de Equações do 2º Grau
Resolvendo um sistema de equações do 1º e do 2º grau.
Sistemas lineares de equações: método da substituição
Clique para aprender a encontrar a solução de sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas pelo método da substituição.
Três passos para resolver uma equação do segundo grau
Confira três passos para resolver uma equação do segundo grau!

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.