Juros compostos

O regime de juros compostos é o mais utilizado no mercado por oferecer maior rentabilidade financeira. Essa maior rentabilidade ocorre pelo fato de esse regime de capitalização ser calculado sempre com base no valor do montante do período anterior, o que faz com que o valor final cresça de maneira exponencial.

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Fórmula do juro composto

A fórmula para calcular o valor do juro ao final de um período de tempo é a seguinte:

• M = montante;

• C = capital;

• i = taxa de juros;

• t = tempo.

Lembre-se de que o montante é sempre a soma do capital com os juros.

M = C + J

Para melhor entendermos a fórmula, vamos imaginar a seguinte situação-problema: um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado em uma poupança durante 4 anos sob uma taxa de juros de 3% ao ano. No final desse período, qual o montante arrecadado?

Observe que o capital é sempre alterado após a capitalização. No segundo ano, por exemplo, o capital para cálculo da taxa de juros foi o montante do ano anterior. Outra observação são os valores dos montantes destacados em negrito na tabela. Veja os do terceiro ano:

3182,7 + 95,4 = 3000 · (1 + 0,03)³ = 3278,1

Nas igualdades acima, o montante destacado em roxo está escrito assim como na fórmula.

Observando a tabela acima, podemos entender melhor o funcionamento da fórmula e, consequentemente, os fatores que influenciam o valor do montante final. Para isso, basta observar quais fatores variam na tabela. O primeiro fator é o tempo, uma vez que quanto mais o tempo passa, maior é o rendimento da aplicação. O outro fator é o capital que é investido inicialmente.

Claro que a taxa também influencia o valor final do montante. Se o problema trabalhado acima mantivesse as mesmas condições e fosse alterada apenas a taxa, os demais resultados seriam diferentes.

Leia também: Porcentagem – razão centesimal de um determinado valor

Cálculo do juro composto

Para realizar o cálculo de juros compostos, devemos substituir as informações fornecidas pela situação-problema na fórmula, mas sempre atentos às unidades de medida da taxa de juros (i) e do tempo (t).

As unidades de medida da taxa de juros podem ser ao ano (a.a), ao mês (a.m) ou ao dia (a.d), e assim por diante. Já as unidades de medida para representar o tempo são as já conhecidas: anos, meses, dias ou horas.

O que devemos observar antes de substituir as informações é a correspondência entre as unidades de medida da taxa e tempo, ou seja, se a taxa está em anos, o tempo também deve estar.

• Exemplo 1

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em uma poupança sob taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 ano. Determine o valor do montante dessa aplicação.

(Dado: log_1,052,466190 = 18)

Resolução

Com base no enunciado, podemos retirar as seguintes informações:

C = R$ 10.000,00

i = 5% a.m

t = 1,5 ano → 18 meses

Veja que a taxa e o tempo estão em unidades de medida diferentes. Antes de substituir na fórmula, devemos transformar uma das unidades de medida. Em geral, transformar a unidade de medida de tempo é uma tarefa mais fácil.

1,5 ano → (1 + 0,5) ano

Em um ano, temos 12 meses, logo, em meio ano (0,5), vamos ter 6 meses, assim:

1,5 ano → (1 + 0,5) ano

1,5 ano → 12 + 6 meses

1,5 ano → 18 meses

Outra observação: a taxa deve ser sempre escrita em sua forma decimal ou fracionária.

Feitas as mudanças, vamos substituir na fórmula.

M = C · (1 + i)^t

M = 10.000 · (1 + 0,05)¹⁸

M = 10.000 · (1,05)¹⁸

M = 10.000 ·2,406619

M = 24.066,19 reais

Observe que, para calcular a potência (1,05)¹⁸, necessitamos do logaritmo fornecido no enunciado do exercício.

Veja que resolvendo o logaritmo a seguir, temos que:

log_1,052,406619 = 18

(1,05)¹⁸ = 2,406619

Para entender melhor as operações com logaritmos, leia nosso texto específico: logaritmos.

• Exemplo 2

Um capital foi investido em uma caderneta de poupança sob uma taxa de juros compostos de 0,6% ao mês durante um ano. Ao retirar o dinheiro, percebeu-se que o montante da aplicação foi de R$ 150.000,00. Determine o capital aplicado.

(Dados: Utilize log_1,0061,074424 = 12)

Do enunciado, temos as seguintes informações:

C = ?

i = 0,6% a.m → 0,006

t = 1 ano → 12 meses

M = R$ 150.000,00

As unidades de medida do tempo e taxa estão diferentes, assim, vamos transformar a unidade de tempo de anos para meses.

1 ano → 12 meses

Agora substituindo na fórmula, temos:

M = C · (1 + i)^t

150.000 = C · (1 + 0,006 )¹²

150.000 = C · ( 1,006 )¹²

150.000 = C · 1,074424

Para resolver a potência (1,006)¹², é necessário utilizar o dado fornecido pelo exercício. Veja:

log_1,0061,074424 = 12

(1,006)¹² = 1,074424

Diferença entre juros composto e simples

A diferença entre o regime de juros simples e compostos está na forma de capitalização. No regime de juros simples, o montante do período seguinte é sempre calculado com base no valor do capital inicial, ou seja, independentemente do tempo, isso sempre vai ocorrer. No regime de juros compostos, o valor do montante é sempre calculado baseado no valor do capital do mês anterior, o que faz com que o montante cresça de maneira exponencial.

Vamos comparar um capital de R$2.000,00 aplicado em taxa de 5% ao mês durante 4 meses no regime de juro simples e composto.

Juros simples

Observe que o valor do juros é constante – nesse caso, sempre igual a R$100.

Juros compostos

Observe que, no regime de juros compostos, o valor do juros não é constante, pois a taxa é calculada com base no montante do mês passado. Para conhecer as propriedades e cálculos da outra modalidade de cálculo de juros, leia: juros simples.

Exercícios resolvidos

Questão 1 (IFSC) – Uma empresa financiou R$ 100.000,00 por 1 ano. O montante do financiamento foi de R$ 172.000,00. Determine a taxa de juros mensal cobrada da empresa.

Resolução

Substituindo os dados do exercício na fórmula, temos:

Elevando ambos os lados da igualdade a 1/12, vamos eliminar o expoente 12 localizado no lado direito da igualdade. Podemos realizar esse procedimento graças ao princípio da equivalência, o qual afirma que, se operarmos um lado da igualdade, devemos realizar a mesma operação do outro lado.

Multiplicando o 0,0462 por 100 para escrever na forma percentual, temos:

0,0462 · 100

4,62% ao mês

Questão 2 (IFSC) – Carlos aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros de 0,6% a.m e, após um tempo, verificou que o saldo estava em R$23.600,00. Determine quanto tempo o dinheiro de Carlos ficou aplicado.

[Dados: log (1,18) = 0,07188; log (1,006) = 0,002597]

Resolução

Substituindo na fórmula, temos que:

Para determinar o valor da incógnita, devemos resolver a equação exponencial utilizando logaritmos.

O tempo em que o dinheiro de Carlos ficou aplicado foi de 28 meses ou 2 anos e 4 meses.