O que é geometria analítica?

Geometria analítica é a área da Matemática responsável pelo estudo das geometrias plana e espacial usando processos algébricos. Por meio da geometria analítica, os conceitos da geometria clássica puderam ser compreendidos de uma forma inteiramente nova, com novos métodos para a demonstração, uso e criação de propriedades ainda não imaginadas.

O estudo da geometria analítica no ensino médio é dividido em: estudo analítico do ponto, estudo analítico da reta, estudo analítico da circunferência, vetores e cônicas.

Estudo analítico do ponto

É nesse estudo que se encontram os principais conhecimentos da geometria analítica. Primeiramente, a ideia de ponto que fundamenta toda a geometria é:

O ponto é uma noção primitiva da geometria.

Em outras palavras, não há como definir um ponto, sua existência somente é comprovada por meio de axiomas ou postulados (definições ou propriedades que são aceitas como válidas sem demonstração).

Não há definição para ponto, mas podemos explicá-lo: um ponto é uma figura geométrica que não possui dimensão nem formato e pode ser usado para marcar com precisão a localização no espaço.

É a partir da ideia de ponto que definimos retas, semirretas e segmentos de reta. Usando a definição de retas, podemos estabelecer o plano cartesiano, sobre o qual é possível delimitar a distância entre dois pontos, uma das mais importantes medidas da geometria analítica.

Um plano cartesiano é um plano formado por duas retas numéricas perpendiculares que se encontram em suas origens. A localização de um ponto qualquer nesse plano é dada pela coordenada da reta horizontal, chamada de eixo x, seguida da coordenada da reta vertical, chamada de y. Assim, o ponto A, por exemplo, possui localização (x, y).

Dados os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B), a distância (d_AB) entre A e B é o comprimento do segmento de reta que os liga, que pode ser obtido pela seguinte fórmula:

Esse conceito é tão importante porque, por meio dele, são definidos quase todos os conceitos da geometria analítica, como a definição de circunferência.

Estudo analítico da reta

A reta é uma figura geométrica que não faz curva, formada por infinitos pontos. Na geometria analítica, uma reta pode ser representada por uma equação. Na realidade, esse é o grande avanço da geometria analítica e é aquilo que faz com que os conceitos geométricos sejam estudados algebricamente. Uma das possíveis equações da reta é:

ax + by + c = 0

Nessa equação, a, b e c são números reais chamados coeficientes e x e y são números reais desconhecidos, chamados de incógnitas.

Por meio dessas equações, é possível identificar quando duas retas são paralelas, concorrentes e perpendiculares. No caso em que são concorrentes, é possível determinar a localização do ponto de encontro entre elas por meio de suas equações.

Além disso, também é possível determinar a inclinação da reta com relação ao eixo x. Para isso, usamos a tangente. Digamos que uma reta r possui dois pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B). A inclinação dessa reta é dada por:

tgα = y_B – y_A 
        x_B – x_A

Nessa relação, α é o ângulo entre a reta r e o eixo x.

Estudo analítico da circunferência

Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância r até um ponto fixo C, chamado centro, é constante. Por meio da geometria analítica, é possível representar a circunferência por meio de uma equação. Uma das equações que podem ser usadas para isso é:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Nessa equação, x e y são números reais desconhecidos, (a, b) é o centro da circunferência e r é seu raio.

A partir desse tipo de equação e dos conceitos anteriores, em especial de distância entre dois pontos, é possível definir as posições relativas entre circunferências, entre uma reta e uma circunferência e entre um ponto e uma circunferência.

Vetores

Vetores são segmentos de reta orientados, ou seja, é um segmento de reta que possui, além de comprimento, direção e sentido. Os vetores são representados por flechas no plano cartesiano e costumam ser usados na disciplina de Física para representar movimentos, incidência de forças etc.

Um vetor também pode ser representado por um par ordenado. Quando isso acontece, significa que esse vetor tem início na origem do plano cartesiano e finda no ponto que esse par ordenado localiza. A questão é que todo vetor pode ser trasladado no plano cartesiano para que tenha seu início na origem, portanto, todo vetor pode ser representado por um par ordenado.

É possível estabelecer todas as operações básicas matemáticas para os vetores, entretanto, essas operações podem ser um pouco diferentes por causa da definição distinta que os vetores possuem.

Cônicas

O estudo de geometria analítica plana encerra-se com o estudo das cônicas: parábola, hipérbole e elipse. A circunferência é uma elipse cujos focos coincidem, por isso não é considerada uma classe de cônicas.

Parábola, hipérbole e elipse são definidas tendo como base os pontos chamados de focos, a distância entre dois pontos e, em algumas, uma reta.