Plano inclinado
Plano inclinado é a parte da Dinâmica newtoniana que estuda o movimento dos objetos inclinados em superfícies que formam um ângulo com o eixo horizontal, com ou sem atrito. Podemos encontrá-lo em rampas, escadarias, facas, ou seja, tudo que gere um movimento inclinado.
Para calculá-lo, utilizamos a segunda lei de Newton, que determina que a força resultante que atua no bloco é igual ao produto da massa pela aceleração. Também utilizamos a fórmula da força peso. Caso haja atrito atuando sobre o bloco, usamos a fórmula da força de atrito.
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Resumo sobre plano inclinado
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Plano inclinado é o termo usado para designar situações da Física Dinâmica em que ocorrem movimentos em planos com inclinações.
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Existem dois casos de exercícios com plano inclinado: quando há ou quando não há a força de atrito atuando sobre o objeto em movimento.
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Para calcular o plano inclinado, a fórmula mais utilizada é a segunda lei de Newton, que determina que a força resultante é a massa multiplicada pela aceleração.
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A força resultante é a soma ou a subtração das forças atuantes no corpo. Para descobrir seu valor, usamos várias fórmulas, tais como a da força peso ou da força de atrito.
Videoaula sobre plano inclinado
O que é plano inclinado?
Plano inclinado é qualquer superfície que faça um ângulo, diferente de zero, com o horizonte, formando uma figura geométrica triangular. Alguns exemplos de planos inclinados são rampas, esteiras rolantes, escadarias e tudo que esteja inclinado.
Tipos de plano inclinado
São dois os casos em que trabalhamos com o plano inclinado: quando o objeto não está atritando com a superfície e quando ele está. Sabemos de qual caso se trata de acordo com as informações do enunciado.
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Plano inclinado sem atrito
No caso do plano inclinado sem a força de atrito \(\vec{f_{at}}\), as forças presentes no bloco sempre são a força normal \(\vec{N}\), que é perpendicular à superfície do plano, e a força peso \(\vec{P}\), que aponta para o centro da Terra (na maioria dos casos, para baixo). Caso haja algo puxando o bloco, haverá também a força que puxa \(\vec{F}\). Na imagem, podemos ver as forças atuantes no plano contido no plano inclinado sem atrito.
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Plano inclinado com atrito
No caso do plano inclinado com a força de atrito \(\vec{f_{at}}\), essa força atua rente ao chão seguindo o movimento, como se estivesse arrastando o chão, conforme a imagem abaixo:
Além disso, há a força normal \(\vec{N}\), a força peso \(\vec{P}\) e caso haja algo puxando o bloco, haverá também a força que puxa \(\vec{F}\). Na imagem, podemos ver as forças atuantes no plano contido no plano inclinado com atrito.
Decomposição das forças em exercícios de plano inclinado
Em exercícios de plano inclinado, é comum que usemos um artifício matemático chamado de decomposição da força, que nada mais é que “quebrar” o vetor em duas direções: na vertical, que é a coordenada \(y\), e na horizontal, que é a coordenada \(x\). Ou seja, a força \(\vec{P}\) virará \(\vec{P_x}\) e \(\vec{P_y}\) , conforme a imagem abaixo:
Força resultante no plano inclinado
A segunda lei de Newton é utilizada para calcular a força resultante em um bloco, que é a soma ou subtração das forças atuantes em uma mesma direção no bloco.
A soma (forças em um mesmo sentido) ou subtração (forças em sentidos opostos) das forças será determinada pelo modelo do exercício. Por exemplo, podem haver casos em que a força peso se some à força de atrito, enquanto em outros elas podem se subtrair.
Vale ressaltar que sentido diz respeito a direita e esquerda, e direção diz respeito a vertical, horizontal ou diagonal.
Fórmulas de plano inclinado
As fórmulas utilizadas nos exercícios de plano inclinado são a segunda lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica), que determina que a força resultante é calculada usando as fórmulas da força peso, a fórmula da decomposição da força peso e, em alguns casos, a força de atrito.
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Segunda lei de Newton
\(\vec{F_R}=m\bullet\vec{a}\)
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\(\vec{F_R}\) é a força resultante no bloco. Trata-se da soma (caso as forças estejam orientadas para o mesmo lado) ou subtração (caso as forças estejam em lados opostos) de todas as forças na horizontal ou na vertical. É medida em newton [N].
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\(m\) é a massa do objeto, medida em quilogramas [kg].
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\(\vec{a}\) é a aceleração do objeto, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2]\).
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Força peso
\(\vec{P}=\ m\bullet\vec{g}\)
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\(\vec{P}\) é a força peso, medida em newton [N].
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\(m\) é a massa do objeto, medida em quilogramas [kg].
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\(\vec{g}\) é a aceleração da gravidade, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2]\).
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Decomposição da força peso
\(\vec{P_x}=P\bullet sen\ \theta\)
\(\vec{P_y}=P\bullet cos\ \theta\)
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\(\vec{P_x}\) é a coordenada horizontal da força peso, medida em newton [N].
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\(\vec{P_y}\) é a coordenada vertical da força peso, medida em newton [N].
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\(P\ \) é o módulo da força peso, medida em newton [N].
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\(sen\ \theta\) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.
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\(cos\ \theta\) é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.
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Força de atrito
\(\vec{f_{at}}=\mu\bullet\vec{N}\)
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\(\vec{f_{at}}\) é a força de atrito, medida em newton [N].
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\(\mu\) é o coeficiente de atrito. Ele pode ser estático, quando o bloco está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o bloco está se movimentando. Não possui unidade de medida.
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\(\vec{N}\) é a força normal, medida em newton [N].
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Observação: Caso não seja dada a aceleração do objeto, podemos calculá-la utilizando as fórmulas do MUV.
Leia também: Polias — máquinas usadas para diminuir o esforço necessário para erguer objetos
Exercícios resolvidos sobre plano inclinado
Questão 01
(Unimep-SP) Um bloco de massa 5kg é arrastado ao longo de um plano inclinado sem atrito, conforme a figura.
Para que o bloco adquira uma aceleração de \(3m/s^2\) para cima, a intensidade de \( \vec{F}\) deverá ser:
(\(g=10\ m/s²\), \(sen\ \theta=0,8\) e \(cos\ \theta=0,6\))
a) igual ao peso do bloco
b) menor que o peso do bloco
c) igual à reação do plano
d) igual a 55N
e) igual a 10N
Resolução
Alternativa D
Primeiramente, encontraremos as forças que estão atuando no bloco. Neste caso, há a força normal \(\vec{N}\), que é perpendicular à superfície, mas não é relevante para o cálculo, há a força que puxa \(\vec{F}\) e a força peso \(\vec{P}\). Deve-se decompor a força peso em duas: \(\vec{P_x}\) na horizontal e \(\vec{P_y}\) na vertical, seguindo o plano cartesiano.
Utilizando a segunda lei de Newton, que diz que a soma de todas as forças envolvidas é igual à massa multiplicada pela aceleração, obtemos a expressão:
\(\vec{F}-\vec{P_x}=m\bullet\vec{a}\)
Usando a fórmula de decomposição da força peso, temos \(\vec{P_x}=P\bullet sen\ \theta\). Então:
\(\vec{F}-P\bullet sen\ \theta=m\bullet\vec{a}\)
\(\vec{F}-m\bullet g\bullet sen\ \theta=m\bullet\vec{a}\)
Substituindo os dados:
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gravidade: 10 m/s²
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aceleração: 3 m/s²
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massa: 5 kg
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sen \(\theta=0,8\)
\(\vec{F}-5\bullet10\bullet0,8=5\bullet3\)
\(\vec{F}-40=15\)
\(\vec{F}=55\ N\)
Questão 2
(Uerj — adaptado) Um bloco de massa igual a 1,0 kg repousa em equilíbrio sobre um plano inclinado. Esse plano tem comprimento igual a 50 cm e alcança uma altura máxima em relação ao solo igual a 30 cm. Calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado.
Resolução
O plano inclinado é formado por um triângulo retângulo de hipotenusa 50 cm e cateto 30 cm. Por meio do teorema de Pitágoras, determinamos o outro cateto, que deve ser de 40 cm. Assim, conseguimos encontrar o valor do seu seno e cosseno.
\(sen\ \alpha=30/50=0,6\)
\(cos\ \alpha=40/50=0,8\)
Como o bloco está em equilíbrio, a força resultante sobre ele é nula. Assim:
\({\vec{P}}_P=\vec{f_{at}}\)
Decompondo a força peso de forma similar ao exercício anterior e lembrando que a força normal é igual a \(\vec{P_y}\), temos:
\(\vec{P_x}=\mu\bullet\vec{N}\)
\(\vec{P_x}=\mu\bullet\vec{P_y}\)
Usando a fórmula de decomposição da força peso, \(\vec{P_y}=\vec{P}\bullet cos\ \alpha\), temos:
\(P\bullet sen\ \alpha=\mu\bullet\vec{P}\bullet cos\ \alpha\)
\(m\bullet g\bullet sen\ \alpha=\mu\bullet m\bullet g\bullet cos\ \alpha\)
Substituindo pelos valores dados no enunciado e usando a gravidade como \(10\ m/s^2\), obtemos:
\(1\bullet10\bullet0,6=\mu\bullet1\bullet10\bullet0,8\)
\(6=\mu\bullet8\)
\(0,75=\mu\)