Plano inclinado

Plano inclinado é a parte da Dinâmica newtoniana que estuda o movimento dos objetos inclinados em superfícies que formam um ângulo com o eixo horizontal, com ou sem atrito. Podemos encontrá-lo em rampas, escadarias, facas, ou seja, tudo que gere um movimento inclinado.

Para calculá-lo, utilizamos a segunda lei de Newton, que determina que a força resultante que atua no bloco é igual ao produto da massa pela aceleração. Também utilizamos a fórmula da força peso. Caso haja atrito atuando sobre o bloco, usamos a fórmula da força de atrito.

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Resumo sobre plano inclinado

• Plano inclinado é o termo usado para designar situações da Física Dinâmica em que ocorrem movimentos em planos com inclinações.

• Existem dois casos de exercícios com plano inclinado: quando há ou quando não há a força de atrito atuando sobre o objeto em movimento.

• Para calcular o plano inclinado, a fórmula mais utilizada é a segunda lei de Newton, que determina que a força resultante é a massa multiplicada pela aceleração.

• A força resultante é a soma ou a subtração das forças atuantes no corpo. Para descobrir seu valor, usamos várias fórmulas, tais como a da força peso ou da força de atrito.

Videoaula sobre plano inclinado

O que é plano inclinado?

Plano inclinado é qualquer superfície que faça um ângulo, diferente de zero, com o horizonte, formando uma figura geométrica triangular. Alguns exemplos de planos inclinados são rampas, esteiras rolantes, escadarias e tudo que esteja inclinado.

Tipos de plano inclinado

São dois os casos em que trabalhamos com o plano inclinado: quando o objeto não está atritando com a superfície e quando ele está. Sabemos de qual caso se trata de acordo com as informações do enunciado.

• Plano inclinado sem atrito

No caso do plano inclinado sem a força de atrito \(\vec{f_{at}}\), as forças presentes no bloco sempre são a força normal \(\vec{N}\), que é perpendicular à superfície do plano, e a força peso \(\vec{P}\), que aponta para o centro da Terra (na maioria dos casos, para baixo). Caso haja algo puxando o bloco, haverá também a força que puxa \(\vec{F}\). Na imagem, podemos ver as forças atuantes no plano contido no plano inclinado sem atrito.

• Plano inclinado com atrito

No caso do plano inclinado com a força de atrito \(\vec{f_{at}}\), essa força atua rente ao chão seguindo o movimento, como se estivesse arrastando o chão, conforme a imagem abaixo:

Além disso, há a força normal \(\vec{N}\), a força peso \(\vec{P}\)  e caso haja algo puxando o bloco, haverá também a força que puxa \(\vec{F}\). Na imagem, podemos ver as forças atuantes no plano contido no plano inclinado com atrito.

Decomposição das forças em exercícios de plano inclinado

Em exercícios de plano inclinado, é comum que usemos um artifício matemático chamado de decomposição da força, que nada mais é que “quebrar” o vetor em duas direções: na vertical, que é a coordenada \(y\), e na horizontal, que é a coordenada \(x\). Ou seja, a força \(\vec{P}\) virará \(\vec{P_x}\) e \(\vec{P_y}\) , conforme a imagem abaixo:

Força resultante no plano inclinado

A segunda lei de Newton é utilizada para calcular a força resultante em um bloco, que é a soma ou subtração das forças atuantes em uma mesma direção no bloco.

A soma (forças em um mesmo sentido) ou subtração (forças em sentidos opostos) das forças será determinada pelo modelo do exercício. Por exemplo, podem haver casos em que a força peso se some à força de atrito, enquanto em outros elas podem se subtrair.

Vale ressaltar que sentido diz respeito a direita e esquerda, e direção diz respeito a vertical, horizontal ou diagonal.

Fórmulas de plano inclinado

As fórmulas utilizadas nos exercícios de plano inclinado são a segunda lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica), que determina que a força resultante é calculada usando as fórmulas da força peso, a fórmula da decomposição da força peso e, em alguns casos, a força de atrito.

• Segunda lei de Newton

\(\vec{F_R}=m\bullet\vec{a}\)

• • \(\vec{F_R}\) é a força resultante no bloco. Trata-se da soma (caso as forças estejam orientadas para o mesmo lado) ou subtração (caso as forças estejam em lados opostos) de todas as forças na horizontal ou na vertical. É medida em newton [N].

  • \(m\) é a massa do objeto, medida em quilogramas [kg].

  • \(\vec{a}\) é a aceleração do objeto, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2]\).

• Força peso

\(\vec{P}=\ m\bullet\vec{g}\)

• • \(\vec{P}\) é a força peso, medida em newton [N].

  • \(m\) é a massa do objeto, medida em quilogramas [kg].

  • \(\vec{g}\) é a aceleração da gravidade, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2]\).

• Decomposição da força peso

\(\vec{P_x}=P\bullet sen\ \theta\)

\(\vec{P_y}=P\bullet cos\ \theta\)

• \(\vec{P_x}\) é a coordenada horizontal da força peso, medida em newton [N].

• \(\vec{P_y}\) é a coordenada vertical da força peso, medida em newton [N].

• \(P\ \) é o módulo da força peso, medida em newton [N].

• \(sen\ \theta\) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

• \(cos\ \theta\) é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

• Força de atrito

\(\vec{f_{at}}=\mu\bullet\vec{N}\)

• • \(\vec{f_{at}}\) é a força de atrito, medida em newton [N].

  • \(\mu\) é o coeficiente de atrito. Ele pode ser estático, quando o bloco está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o bloco está se movimentando. Não possui unidade de medida.

  • \(\vec{N}\) é a força normal, medida em newton [N].

Observação: Caso não seja dada a aceleração do objeto, podemos calculá-la utilizando as fórmulas do MUV.

Leia também: Polias — máquinas usadas para diminuir o esforço necessário para erguer objetos

Exercícios resolvidos sobre plano inclinado

Questão 01

(Unimep-SP) Um bloco de massa 5kg é arrastado ao longo de um plano inclinado sem atrito, conforme a figura.

Para que o bloco adquira uma aceleração de \(3m/s^2\) para cima, a intensidade de \( \vec{F}\) deverá ser:

(\(g=10\ m/s²\), \(sen\ \theta=0,8\) e \(cos\ \theta=0,6\))

a) igual ao peso do bloco

b) menor que o peso do bloco

c) igual à reação do plano

d) igual a 55N

e) igual a 10N

Resolução

Alternativa D 

Primeiramente, encontraremos as forças que estão atuando no bloco. Neste caso, há a força normal \(\vec{N}\), que é perpendicular à superfície, mas não é relevante para o cálculo, há a força que puxa \(\vec{F}\) e a força peso \(\vec{P}\). Deve-se decompor a força peso em duas: \(\vec{P_x}\) na horizontal e \(\vec{P_y}\) na vertical, seguindo o plano cartesiano.

Utilizando a segunda lei de Newton, que diz que a soma de todas as forças envolvidas é igual à massa multiplicada pela aceleração, obtemos a expressão:

\(\vec{F}-\vec{P_x}=m\bullet\vec{a}\)

Usando a fórmula de decomposição da força peso, temos \(\vec{P_x}=P\bullet sen\ \theta\). Então:

\(\vec{F}-P\bullet sen\ \theta=m\bullet\vec{a}\)

\(\vec{F}-m\bullet g\bullet sen\ \theta=m\bullet\vec{a}\)

Substituindo os dados:  

• gravidade: 10 m/s²

• aceleração: 3 m/s²

• massa: 5 kg

• sen \(\theta=0,8\)

\(\vec{F}-5\bullet10\bullet0,8=5\bullet3\)

\(\vec{F}-40=15\)

\(\vec{F}=55\ N\)

Questão 2

(Uerj — adaptado) Um bloco de massa igual a 1,0 kg repousa em equilíbrio sobre um plano inclinado. Esse plano tem comprimento igual a 50 cm e alcança uma altura máxima em relação ao solo igual a 30 cm. Calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado.

Resolução

O plano inclinado é formado por um triângulo retângulo de hipotenusa 50 cm e cateto 30 cm. Por meio do teorema de Pitágoras, determinamos o outro cateto, que deve ser de 40 cm. Assim, conseguimos encontrar o valor do seu seno e cosseno.

\(sen\ \alpha=30/50=0,6\)

\(cos\ \alpha=40/50=0,8\)

Como o bloco está em equilíbrio, a força resultante sobre ele é nula. Assim:

\({\vec{P}}_P=\vec{f_{at}}\)

Decompondo a força peso de forma similar ao exercício anterior e lembrando que a força normal é igual a \(\vec{P_y}\), temos:

\(\vec{P_x}=\mu\bullet\vec{N}\)

\(\vec{P_x}=\mu\bullet\vec{P_y}\)

Usando a fórmula de decomposição da força peso, \(\vec{P_y}=\vec{P}\bullet cos\ \alpha\), temos:

\(P\bullet sen\ \alpha=\mu\bullet\vec{P}\bullet cos\ \alpha\)

\(m\bullet g\bullet sen\ \alpha=\mu\bullet m\bullet g\bullet cos\ \alpha\)

Substituindo pelos valores dados no enunciado e usando a gravidade como \(10\ m/s^2\), obtemos:

\(1\bullet10\bullet0,6=\mu\bullet1\bullet10\bullet0,8\)

\(6=\mu\bullet8\)

\(0,75=\mu\)