Propriedades da função exponencial

Uma função exponencial é uma função que possui uma variável como expoente. Matematicamente, ela pode ser representada por f de R em R, que é obtida pela lei de formação f(x) = a^x, em que “a” é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1. As funções desse tipo possuem algumas propriedades resultantes das potências, além de características que podem ajudar na realização dos cálculos. Essas propriedades são:

1ª Propriedade: Se x = 0, então f(x) = 1.

Isso acontece por causa das propriedades de potências. Observe o que ocorre à função f(x) = 2^x quando x = 0:

f(x) = 2^x

f(0) = 2⁰

f(0) = 1

No entanto, esse resultado vale para todo a pertencente aos números reais, pois qualquer número elevado a zero será igual a um. Sendo assim, o caso geral é:

f(x) = a^x

f(0) = a⁰

f(0) = 1

2ª Propriedade: Se a > 1, então, a função exponencial será crescente.

Uma função é considerada crescente quando dados os dois valores distintos do domínio x₁ e x₂, com x₁ < x₂: f(x₁) < f(x₂).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x₁ e x₂. Toda vez que x₁ < x₂, e que a > 1, teremos como consequência a^x1 < a^x2.

Por exemplo: f(x) = 2^x. Observe que a = 2, que é maior que 1. Assim, essa função é crescente. Por isso, tomando x₁ = 1 e x₂ = 2, teremos:

a^x1 < a^x2

2¹ < 2²

2 < 4

3ª Propriedade: Se “a” for menor que 1 e maior que zero, então, a função exponencial será decrescente.

Uma função é considerada decrescente quando dados os dois valores distintos do domínio x₁ e x₂, com x₁ < x₂: f(x₁) > f(x₂).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x₁ e x₂. Toda vez que x₁ < x₂, e que 0 < a < 1, teremos como consequência a^x1 > a^x2.

Por exemplo: f(x) = 0,5^x. Nesse exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente a essa propriedade. Como essa função é decrescente, se x₁ = 1 e x₂ = 2, teremos:

x₁ < x₂

a^x1 > a^x2

0,5¹ > 0,5²

0,5 > 0,25

Observe que “a” é obrigatoriamente diferente de 1 por definição da função e, se for igual a zero, a função será contemplada pela primeira propriedade. Por isso, o intervalo aberto 0 < a < 1.

4ª Propriedade: Sempre que a^x1 = a^x2, teremos x₁ = x₂.

Isso acontece para todo valor de x, desde que a ≠ 1 e a > 0.

Por exemplo: na função f(x) = 7^x. Se f(x₁) = 49 e f(x₂) = 49, teremos:

f(x₁) = f(x₂)

a^x1 = a^x2

7^x1 = 7^x2

Como o resultado das duas potências, no exemplo, é igual a 49, então, x₁ e x₂ só podem ser iguais a 2.

x₁ = x₂ = 2

5ª Propriedade: O gráfico da função exponencial sempre estará localizado acima do eixo x.

Isso acontece porque, por definição, “a” sempre será maior que zero em toda função exponencial. Como “a” é base de uma potência, o resultado dessa potência sempre será maior que zero. Isso significa que, no plano cartesiano, os valores de f(x) correspondentes a y nunca serão negativos, ou seja, nunca ficarão abaixo do eixo x.

Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano aproximam-se de zero sempre que o valor de x aumenta. Caso contrário, a função afastar-se-ia de zero com o aumento de x.