Relação entre segmentos secantes na circunferência

Se uma circunferência é cortada por dois segmentos de reta secantes, é possível calcular algumas medidas desses segmentos usando a proporcionalidade. Para isso, a regra é a seguinte: A, B, C e D devem ser pontos de uma circunferência de raio r e centro O, e M deve ser um ponto fora dela, de forma que os segmentos AM e CM contenham os pontos B e D, respectivamente. Nesse caso, vale a proporção:
AM = DM
CM BM
A circunferência descrita, juntamente aos segmentos e pontos, pode ser visualizada na imagem a seguir:
Usando a propriedade fundamental das proporções, também podemos afirmar que a proporção acima é equivalente a:
AM·BM = CM·DM
Exemplo:
Calcule o comprimento do segmento CM, secante à circunferência da imagem abaixo:
Usando a igualdade resultante da propriedade fundamental das proporções, substituindo as medidas dos respectivos segmentos e fazendo DM = x, temos:
AM·BM = CM·DM
180·100 = (110 + x)·x
18000 = 110x + x2
x2 + 110x – 18000 = 0
Usando o método de completar quadrados, podemos resolver essa equação do segundo grau da seguinte maneira:
x2 + 110x – 18000 = 0
x2 + 110x – 18000 + 21025 = 21025
x2 + 110x + 3025 = 21025
(x + 55)2 = 21025
√[(x + 55)2] = √(21025)
x + 55 = ± 145
x = ± 145 – 55
x’ = 145 – 55 = 90
x’’ = – 145 – 55 = – 200
Lembre-se de que essa equação também pode ser resolvida usando fórmula de Bháskara. Observe que o resultado negativo não é válido, pois x = DM, que é um segmento de reta, portanto:
x = DM = 90 cm.
Como o exercício pediu o comprimento de CM = CD + DM, temos:
CM = 110 + 90 = 200 cm
Demonstração da propriedade
Para demostrar essa relação envolvendo segmentos secantes, considere a mesma circunferência e segmentos dados no início do texto: circunferência de centro O que possui os pontos ABC e D e o ponto M fora dela, tais que os segmentos AM e CM também contenham os pontos B e D, respectivamente. Essa construção é ilustrada na imagem abaixo:
Observe que, traçando os segmentos CB e AD, podemos formar dois triângulos: AMD e CMB. Esses dois triângulos são semelhantes, pois:
1 – O ângulo M é comum para os dois triângulos;
2 – Os ângulos A e C são congruentes, pois são inscritos e representam o mesmo arco.
Assim, pelo caso de semelhança ângulo-ângulo, os triângulos AMD e CMB são semelhantes, por isso, seus lados correspondentes são proporcionais. Como o triângulo AMD está invertido verticalmente com relação ao outro, temos a seguinte proporção entre seus lados:
AM = DM
CM BM
Ferramentas Brasil Escola
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