Sistema linear homogêneo

O sistema linear homogêneo ocorre quando o sistema linear tem todas as equações igualadas a zero, ou seja, o termo independente de cada uma das equações é igual a zero. Nele existe, pelo menos, uma solução, conhecida como trivial ou nula, em que todas as incógnitas são iguais a zero.

A diferença de um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo é que, no primeiro caso, todas as equações estão igualadas a zero, já no segundo, pelo menos uma das equações é igualada a um número diferente de zero.

Um sistema homogêneo pode ter como solução somente a solução trivial, sendo um sistema possível determinado (SPD), ou mais soluções além dela, sendo um sistema possível indeterminado (SPI). Para resolvê-lo, usamos as mesmas técnicas para encontrar as soluções de um sistema qualquer, o que depende diretamente do número de equações que ele possui.

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Resumo sobre sistema linear homogêneo

• Conhecemos como sistema linear homogêneo aquele que tem todas as equações do 1º grau e com termo independente igual a zero.

• De modo geral, um sistema homogêneo pode ser descrito por:

• Todo sistema linear homogêneo tem como solução a terna (0, 0, ..., 0), conhecida como solução nula ou trivial.

• Quando um dos termos independentes é diferente de zero, então o sistema linear não é homogêneo.

O que é um sistema linear homogêneo?

Um sistema de equação é conhecido como linear quando é composto exclusivamente por equações do primeiro grau, e como homogêneo quando o seu termo independente é igual a zero, então um sistema é classificado como linear homogêneo quando é composto por equações do 1º grau que têm termo independente igual a zero, o que significa que todas as equações serão igualadas a zero. De modo geral, representamos o sistema linear homogêneo por:

Propriedades de um sistema linear homogêneo

A principal propriedade de um sistema linear homogêneo é que ele tem como solução, pelo menos, a solução trivial, conhecida também como nula, pois todas as incógnitas iguais a 0 são solução do sistema linear homogêneo, ou seja, a terna (0, 0, ... 0).

Um sistema linear homogêneo pode ser classificado de duas formas.

• Sistema possível determinado (SPD): quando o sistema linear tem somente a trivial como solução.

• Sistema possível indeterminado (SPI): quando o sistema linear tem infinitas soluções.

Importante: Um sistema linear nunca será impossível, pois sabemos que ele tem, pelo menos, a solução trivial.

Diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo

A principal diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo está na sua definição em si, pois, para ser homogêneo, o termo independente tem que ser zero, já no segundo caso, é necessário que o termo independente seja diferente de zero.

Como resolver um sistema linear homogêneo?

Para encontrar o conjunto de soluções de um sistema linear, utilizamos as mesmas técnicas para um sistema qualquer. Quando o sistema for 2x2, podemos utilizar os métodos conhecidos para resolução de sistema 2x2, como o método da adição, o da substituição ou o da igualdade. Já em um sistema 3x3, podemos utilizar as técnicas específicas para um sistema qualquer, o que é o caso do escalonamento, da regra de Cramer, entre outras.

Exemplo 1:

Encontre as soluções para o sistema.

Resolução:

Analisando o sistema e utilizando o método da adição, temos que:

3x + 5y = 0 → I

2x + 3y = 0 → II

Então realizamos a multiplicação da equação I por 2, e da equação II por -3:

6x + 10y = 0 → 2I

-6x – 9y = 0 → -3II

Agora somando as linhas, temos que:

0x + y = 0

y = 0

Sabendo que y = 0, então:

2x + 3y = 0

2x + 3 \(\cdot\) 0 = 0

2x + 0 = 0

2x = 0

x = 0

Então essa equação tem somente a solução trivial.

x = 0 e y = 0

Exemplo 2:

Encontre as soluções do sistema.

Resolução:

Utilizando o método da substituição na segunda equação, temos que:

\(x+2y=0\)

\(x=-2y\)

Agora substituindo na primeira equação:

\(2x+4y=0\)

\(2\cdot\left(-2y\right)+4y=0\)

\(-4y+4y=0\)

\(0=0\)

Quando encontramos 0 = 0, isso significa que esse sistema é um sistema possível indeterminado (SPI), ou seja, tem infinitas soluções.

As soluções devem respeitar o fato de que:

\(x=-2y\)

Por exemplo, além da solução trivial, o par ordenado (1, -2) também é solução dessa equação, ou o par (2, -4), pois o y é igual \(-2\) vezes o valor de x.

Exemplo 3:

Encontre a solução do sistema.

Resolução:

Analisando esse sistema, podemos perceber que ele é de ordem 3. Para resolvê-lo, utilizaremos o escalonamento.

Primeiro construímos a matriz associada ao sistema:

\(\left[\begin{matrix}1&1&1&0\\2&4&1&0\\-3&5&-4&0\\\end{matrix}\right]\)

Agora realizaremos operações algébricas entre as linhas da matriz, então faremos a operação \(L_3=3L_1+L_3\).

\(\left[\begin{matrix}1&1&1&0\\2&4&1&0\\0&8&-1\ &0\\\end{matrix}\right]\)

Agora faremos \( L_2=L_2-2L_1\).

\(\left[\begin{matrix}1&1&1&0\\0&2&-1&0\\0&8&-1\ &0\\\end{matrix}\right]\)

Agora faremos \(L_3=4L_2-L_3\).

\(\left[\begin{matrix}1&1&1&0\\0&2&-1&0\\0&0&-3\ &0\\\end{matrix}\right]\)

Então teremos o novo sistema, escalonado:

\(x+y+z=0\)

 \(2y-z=0\)

\(-3z=0\)

Pela terceira equação, podemos concluir que:

\(-3z=0\)

\(z=0\)

Pela segunda equação:

\(2y-z=0\ \)

\(2y-0=0\ \)

\(2y=0\)

\(y=0\)

Por fim, pela primeira equação:

\(x+y+z=0\)

\(x+0+0=0\)

\(x=0\)

Esse é um sistema possível determinado que possui somente a solução trivial.

x = 0, y = 0 e z = 0

Veja também: Representação matricial de um sistema — a representação de um sistema em forma de matriz

Exercícios resolvidos sobre sistema linear homogêneo

Questão 1

Analise o sistema a seguir:

Sabendo que se trata de um sistema possível determinado, a soma das suas soluções é igual a:

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

E) 0

Resolução:

Alternativa E

Como o sistema é homogêneo, ele tem como solução a solução trivial (0, 0, 0). Como ele é possível e determinado, essa é a única solução, então temos que 0 + 0 + 0 = 0.

Questão 2

Analise o sistema a seguir:

Podemos afirmar que:

I. Esse sistema é um sistema linear homogêneo.

II. Uma solução desse sistema é a solução trivial.

III. O sistema é um sistema impossível.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a I é falsa.

B) Somente a II é falsa.

C) Somente a III é falsa.

D) Todas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa C

I. Esse sistema é um sistema linear homogêneo. (verdadeira)

Note que os termos independentes desse sistema são todos iguais a zero, e que todas as sentenças são equações do 1º grau, o que faz com que ele seja um sistema linear homogêneo.

II. Uma solução desse sistema é a solução trivial. (verdadeira)

Todo sistema linear homogêneo tem como solução a trivial.

III. O sistema é um sistema impossível. (falsa)

O sistema homogêneo sempre terá a solução trivial, logo, ele não pode ser classificado como um sistema impossível.