Área da diferença entre duas figuras
O cálculo de algumas áreas pode depender da decomposição de uma figura geométrica. Para isso, muitas vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e somar os resultados. Outras vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e subtrair os resultados.
Para esse último caso, mostraremos exemplos de como calcular uma área e, sem seguida, demonstraremos como usar uma fórmula que pode substituir todo o processo de cálculo.
Áreas obtidas pela diferença entre duas figuras
Para obter a área da diferença entre duas figuras, basta calcular a área de duas figuras e subtrair as áreas encontradas. Geralmente, as figuras cujas áreas devem ser subtraídas encontram-se uma no interior da outra, e a área pedida é referente à parte interna da figura maior e externa da figura menor.
1º Exemplo: bandeira do Brasil
Encontre a área da parte verde da bandeira do Brasil, sabendo que ela é formada por um retângulo de dois metros de largura por 1,4 metros de comprimento e que as diagonais do losango amarelo medem 1,66 metros e 1,06 metros.
Solução:
Observe que a área verde fica no interior de um retângulo, mas a parte amarela, também no interior do retângulo, não deve ser considerada. Sendo assim, devemos subtrair a área da figura amarela da área da figura verde.
A área do retângulo é obtida por:
A1 = b·h
A1 = 2·1,4
A1 = 2,8 m2
A área do losango é obtida por:
A2 = D·d
A2 = 1,66·1,06
A2 = 1,76 m2 aproximadamente
Assim, a área da parte verde da figura pode ser obtida da seguinte forma:
A1 – A2
2,8 – 1,76
1,04 m2
Esse cálculo é de suma importância para determinar, por exemplo, a quantidade de tecido verde que deve ser comprado para a confecção de uma bandeira, pois impede que seja adquirido mais tecido que o necessário.
2º Exemplo: coroa circular
Duas circunferências concêntricas de raios distintos formam uma coroa circular, que é a figura presente na imagem abaixo:
Para encontrar a área da parte verde da figura, também é exigida uma subtração, uma vez que essa parte da figura é interior ao círculo maior e externa ao círculo menor. É como se precisássemos tirar um círculo de dentro do círculo verde para obter a coroa circular. Ao fazer isso, devemos subtrair sua área.
A área do círculo maior, portanto, é:
A1 = π·r2
A1 = 3,14·202
A1 = 3,14·400
A1 = 1256 cm2
A área do círculo menor é:
A2 = π·r2
A2 = 3,14·152
A2 = 3,14·225
A2 = 706,5 cm2
A área da parte verde da figura é obtida pela diferença entre as áreas dos dois círculos:
A1 – A2
1256 – 706,5
549,5 cm2
3º Exemplo
(Unifesp-SP) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.
Nessas condições, calcule a área da região colorida.
Solução:
Observe que a parte colorida da figura é igual a diferença entre a área do hexágono e a área de seis setores circulares no interior do hexágono. Veja, na figura a seguir, essa mesma diferença sem a interferência da área externa das circunferências, que não entram nos cálculos:
Note também que o raio de todas as circunferências presentes na imagem é igual a 1, pois representam metade do lado do hexágono.
Em primeiro lugar, devemos determinar a área do hexágono. Para isso, precisamos dividi-lo em seis triângulos equiláteros, da seguinte maneira:
Toda vez que um polígono regular é dividido dessa maneira, os triângulos gerados são equiláteros e congruentes. Portanto, a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um desses triângulos.
Como são equiláteros, para calcular a área de um desses triângulos, podemos usar a área do triângulo equilátero, conseguida pela fórmula a seguir:
A1 = l2√3
4
A1 = 22√3
4
A1 = 4√3
4
A1 = √3
Sabendo que a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, temos:
Ah = 6√3
Agora, para determinar a área do setor circular, devemos determinar seu ângulo. Lembrando que, primeiramente, encontramos a área de um setor circular e, depois, multiplicamos o resultado por seis, uma vez que essas áreas são todas iguais, assim como o que foi feito com o triângulo equilátero.
A soma dos ângulos internos do hexágono é:
S = (n – 2)180°
S = (6 – 2)180°
S = (4)180°
S = 720°
Como o hexágono é regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, dessa forma, cada um deles mede:
Si = 120°
Observe que esse também é o ângulo do setor circular, pois o vértice de cada ângulo interno do hexágono também é o centro da circunferência. Dessa maneira, determinamos a área da circunferência (AC) e, por regra de três, a área do setor circular (ASC).
AC = π·r2
Como foi dito, o raio de qualquer circunferência nesse exercício é 1, portanto:
AC = 3,14·12
AC = 3,14·1
AC = 3,14
Logo, a área do setor circular é:
3,14 = 360°
ASC 120°
360 ASC = 376,8
ASC = 376,8
360
ASC = 1,05, aproximadamente.
Agora, devemos multiplicar a área desse setor circular por seis, pois são seis setores presentes na figura:
A2 = 6·1,05 = 6,3
Para finalizar, devemos subtrair a área dos seis setores circulares da área do hexágono:
Ah – A2
6√3 – 6,3
4,09, aproximadamente.
Portanto, a área da parte colorida da imagem é igual a aproximadamente 4,09.