Área do tronco da pirâmide

A área do tronco da pirâmide pode ser calculada de algumas formas diferentes. O mais comum é calcular a área de cada um dos polígonos separadamente e, depois, somar esses resultados.

Para isso, separaremos o tronco da pirâmide em três partes: base maior, base menor e faces laterais. A área do tronco da pirâmide, portanto, é determinada pelas somas das áreas da base maior (A_B), base menor (A_b) e área das faces laterais (A_l).

As áreas das bases são proporcionais, pois elas são polígonos semelhantes. A área lateral é calculada pelo número de lados da base multiplicado pela área da face lateral, que é um trapézio.

Esquematicamente, essa área é determinada pela soma a seguir:

A = A_B + A_b + 6A_l

Vale ressaltar nem sempre é possível utilizar essa fórmula, pois nem sempre as bases são polígonos regulares ou podem ter um número de lados para o qual não existe fórmula de área. Nesse caso, o exercício oferecerá uma saída, na maioria das vezes, baseada em proporcionalidade.

Exemplo

(UFSC modificada) A base quadrada de uma pirâmide regular tem 144 m² de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a seção assim feita tem 64 m² de área. Qual é a área do tronco da pirâmide?

Solução: Já sabemos as áreas das bases. Como a base é quadrada, há quatro trapézios iguais nas laterais desse tronco.

Para calcular a área dos trapézios, devemos descobrir sua altura. Podemos fazer isso pelo teorema de Pitágoras. Observe a figura a seguir:

O segmento AB mede 4 m, pois é a distância entre as duas bases. Esse segmento foi traçado no centro da pirâmide porque o comprimento dos segmentos BE e AC é a metade dos lados do quadrado a que pertencem.

Descobrir o lado desse quadrado é tarefa fácil, já que sabemos sua área. O lado do quadrado da base da pirâmide é:

A = l²
64 = l²
√l² = √64
l = 8 m

A = l²
144 = l²
√l² = √144
l = 12

Portanto, os segmentos AC e BE medem, respectivamente, 4 m e 6 m.

Note que o segmento CD também é uma altura da pirâmide, portanto, mede 4 m. Já o segmento BD também mede 4 m, pois o quadrilátero ABCD é um paralelogramo (AC e BD são paralelos por definição e AB e CD são paralelos porque ambos são alturas). Dessa maneira, o que sobra para o segmento DE é 2 m.

Para descobrir a altura do trapézio, que é uma das faces do tronco da pirâmide, basta usar o teorema de Pitágoras.

x² = 4² + 2²
x² = 16 + 4
x² = 20
√x² = √20
x = √20
x = √(2²·5)
x = 2√5

A área do trapézio é dada pela seguinte expressão:

A = (B + b)h
      2

Lembre-se de que as bases desse trapézio são os lados do quadrado fornecidos no exercício. Esses lados já foram calculados e suas medidas são, respectivamente, 6 m e 4 m. Portanto, substituindo todos os valores, teremos:

A = (6 + 4)2√5
       2

A = (10)2√5
       2

A = 10√5

Para calcular, finalmente, a área do tronco da pirâmide, basta somar as áreas de suas bases e sua área lateral, que é 4 vezes a área do trapézio. Observe:

A = A_B + A_b + A_l

A = 144 + 64 + 4·10√5

A = 208 + 40√5

Aproximadamente, essa área mede:

A = 208 + 40·2,24

A = 297,6 m²