Discriminante de uma equação do segundo grau

O discriminante de uma equação do segundo grau é a parte da fórmula de Bháskara na qual se deve calcular a raiz quadrada. Essa parte é representada pela letra grega Δ (delta) e pode ser encontrada por meio da seguinte equação:

Δ = b² – 4·a·c

Sendo assim, a fórmula de Bháskara, na realidade, é a seguinte:

x = – b ± √(b² – 4·a·c)
    2·a

Entretanto, essa fórmula é ensinada em duas etapas por questões didáticas e pela importância do discriminante em outros cálculos.

Quantidade de soluções de uma equação

As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais. Por meio do discriminante, é possível descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:

Se Δ < 0 a equação não possui soluções reais

Se Δ = 0 a equação possui apenas uma solução real

Se Δ > 0 a equação possui duas soluções reais

Isso acontece porque, na fórmula de Bháskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é impossível calcular essas raízes. Além disso, observe o exemplo abaixo para verificar o porquê de uma equação do segundo grau possuir duas raízes.

x² = 16

x = ± √16

O sinal ± aparece porque tanto 4·4 = 16 quanto (– 4)(– 4) = 16. Logo, a equação acima possui dois resultados. É impossível que ela possua mais do que isso, pois é uma equação do segundo grau.

Estudo dos sinais de uma equação do segundo grau

O estudo dos sinais é justamente o uso do valor do discriminante para determinar quantas soluções reais a equação possui. É assim chamado porque, aliado ao valor do coeficiente “a”, pode ser usado para descobrir em qual intervalo uma função do segundo grau é positiva e/ou negativa. Nas equações, o estudo dos sinais resume-se a:

Se Δ < 0, nenhuma solução real

Se Δ = 0, uma solução real (ou duas soluções iguais)

Se Δ > 0, duas soluções reais distintas

“Solução real” quer dizer que os valores de x que a equação pode assumir pertencem ao conjunto dos números reais. Avaliando a equação do segundo grau em que Δ < 0, em outro conjunto numérico, pode ser que ela possua mais soluções. Esse conjunto no qual a equação que possui Δ < 0 tem mais soluções é chamado de conjunto dos números complexos.

Vértice de uma função do segundo grau

Além disso, nas funções do segundo grau, o valor do discriminante é usado para determinar a posição do vértice com relação ao eixo y. Sendo x_v e y_v as coordenadas do vértice da função do segundo grau, a coordenada y_v pode ser encontrada fazendo uso da seguinte fórmula:

y_v = – Δ
        4a

Lembrando que encontrar o vértice de uma função tem a importante finalidade de determinar seu ponto de máximo ou de mínimo.