Distância entre dois pontos no espaço

O cálculo da distância entre dois pontos no espaço é um assunto discutido na Geometria Analítica e tem suas bases no teorema de Pitágoras. Utilizando esse teorema, é possível chegar à fórmula usada para calcular o comprimento do segmento de reta que liga dois pontos.

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço, é necessário calcular antes a distância entre dois pontos no plano. Adiante demonstraremos como esses cálculos são feitos para obter a fórmula em questão.

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Existe uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço, dada por meio de suas coordenadas. Assim sendo, sejam os pontos A = (x_A, y_A, z_A) e B = (x_B, y_B, z_B), a distância entre A e B, denotada por dAB, é dada pela seguinte expressão:

Para calcular a distância entre dois pontos, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos em questão na fórmula acima.

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos A = (4, -8, -9) e B = (2, -3, -5).

Obtendo a distância entre dois pontos no espaço

Na imagem a seguir há três eixos coordenados que representam o que seria o equivalente ao plano cartesiano no espaço. Note que fixamos dois pontos nele:

Para calcular a distância entre esses dois pontos, é necessário calcular a distância entre os pontos no plano xy, formados pelas coordenadas (x_A, y_A) e (x_B, y_B), que serão denotados por A₁ e B₁, respectivamente.

Dessa forma, observe que os pontos A₁ e B₁ estão localizados como ilustrado na imagem a seguir e a distância entre eles é representada pelo segmento A₁B₁. Além disso, a imagem da direita contém um esquema de como essa estrutura é vista por cima, o que é chamado de projeção ortogonal sobre o plano xy.

Os catetos do triângulo à direita são a diferença entre as coordenadas de seus pontos, isto é, a base tem comprimento igual a x_B – x_A e a altura tem comprimento y_B – y_A. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, temos:

Para obter a distância entre dois pontos no plano, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação acima. Contudo, nosso objetivo é obter a fórmula para a distância no espaço. Para tanto, observe que o segmento A₁B₁ possui o mesmo tamanho da base do triângulo ABC, ilustrado na figura abaixo.

Note também que a distância de B até C é justamente a diferença zB – zA, pois AC é paralelo a A₁B₁. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, teremos a distância entre A e B, denotada por d_AB: