Menor complementar
O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator de um elemento da matriz, essencial para alguns métodos de cálculo do determinante de matrizes, principalmente matrizes de ordem 3 ou maiores, mas há também outras aplicações, como na inversão de matrizes.
O menor complementar, conhecido também como menor principal, é associado a cada termo da matriz quadrada, ou seja, cada elemento da matriz possui um menor complementar. Para encontrar o menor complementar Dij, associado ao termo aij, construímos uma nova matriz sem a linha i e a coluna j e calculamos o seu determinante. Além do menor complementar, podemos calcular também o cofator de um termo da matriz. Sendo Cij o cofator do termo aij, ele é calculado por Cij = (-1)i+j Dij.
Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3
Resumo sobre menor complementar
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O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator associado a um termo da matriz.
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Representamos o menor complementar do termo aij por Dij.
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Para encontrar o menor complementar de aij, removemos a linha i e a coluna j da matriz e calculamos o seu determinante.
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Calculando o menor complementar, é possível também encontrar o cofator Cij, por meio da fórmula Cij = (-1)i+j Dij.
Como calcular o menor complementar de um elemento da matriz?
O menor complementar ou menor principal é um número associado a cada termo de uma matriz. Calculamos o menor complementar somente para matrizes quadradas de ordem 2 ou superior, isto é, que possuem o mesmo número de linhas e de colunas e que tenham no mínimo duas linhas e duas colunas.
Para calcular o menor complementar associado ao termo aij da matriz, eliminamos a linha e a coluna às quais esse elemento pertence e então calculamos o determinante dessa nova matriz. O menor complementar de um determinado termo da matriz é representado por Dij. Veja, na prática, como calcular o valor do menor complementar de um elemento da matriz.
Exemplo 1:
Começando por um exemplo simples, dada a matriz de ordem 2 a seguir, calcularemos o menor complementar de cada um de seus termos.
Resolução:
Essa matriz possui duas linhas e duas colunas, então ela é composta pelos termos:
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a11 = 2
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a12 = 3
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a21 = 1
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a22 = 4
Quando eliminamos 1 linha e 1 coluna de uma matriz de ordem 2, resta apenas uma matriz com uma linha e uma coluna, ou seja, um único termo. Em matrizes de ordem 2, o menor complementar de um termo será o termo restante.
Menor complementar do termo a11:
Como o termo está na primeira linha e primeira coluna, vamos eliminar a linha 1 e a coluna 1 da matriz. Construindo uma matriz com o que restou, teremos a matriz: [4]. Então, o menor complementar é igual ao determinante dessa nova matriz, que é igual a 4. Ou seja:
D11 = 4
Utilizando o mesmo raciocínio, podemos encontrar D12, D21 e D22.
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Eliminando a primeira linha e a segunda coluna, obtêm-se que D12 = 1;
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Eliminando a segunda linha e a primeira coluna, obtêm-se que D21 = 3;
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Eliminando a segunda linha e a segunda coluna, obtêm-se que D22 = 2.
Exemplo 2:
Faremos agora um exemplo de matriz 3x3.
Dada a matriz a seguir, calcule o menor complementar do termo a23:
Calcularemos o determinante da matriz, eliminando a linha 2 e a coluna 3.
Então, temos que:
D23 = 2 (– 1) – 1 · 1 = – 2 – 1 = – 3
Leia também: Propriedades dos determinantes: quais são e como usar?
Menor complementar e cofator
Assim como o menor complementar, o cofator é um número associado a cada elemento da matriz. O cofator do termo que está na linha i e coluna j é representado por Cij. Para calcular um cofator, é necessário encontrar o menor complementar e, então, utilizar a fórmula:
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Cij = (-1)i+j Dij |
Note, portanto, que o que pode mudar do cofator para o menor complementar é o sinal:
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quando a soma da linha com a coluna é um número ímpar, o cofator é o inverso do menor complementar;
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quando a soma da linha com a coluna é um número par, o cofator é igual ao menor complementar.
Exemplo:
Na matriz B vista anteriormente, tinha-se D23 = – 3. Agora, calcularemos C23:
Resolução:
Cij = (– 1)i+j Dij
C23 = (– 1)2+j3D23
C23 = (– 1)2+3 (– 3)
C23 = (– 1)5 (– 3)
C23 = (– 1) (– 3)
C23 = 3
Exercícios resolvidos sobre menor complementar
Questão 1
Analise a matriz A a seguir:
O valor da diferença entre os menores complementares D22 – D11 é:
A) 1
B) – 1
C) – 7
D) 7
E) 0
Resolução:
Alternativa A
Ao calcular D22, se eliminarmos a linha 2 e a coluna 2, restará a matriz [4], então D22 = 4.
Ao calcular D11, se eliminarmos a linha 1 e a coluna 1, restará a matriz [3], então D11 = 3.
Conclui-se que a diferença entre esses valores é 4 – 3 = 1
Questão 2
(CPCON) A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secundária da matriz é:
A) 36
B) 23
C) 1
D) 0
E) – 36
Resolução:
Alternativa B
Os cofatores da diagonal secundária são:
C13, C22 e C31
Para calcular C13, eliminaremos a linha 1 e coluna 3. Assim, obteremos a seguinte matriz:
Calculando seu cofator, temos que:
C13 = (– 1)1+3 [0 ⸳ 4 – (– 2) ⸳ (– 4)]
C13 = (– 1)4 [0 – (+ 8)]
C13 = 1 ⸳ (– 8) = – 8
Para calcular C22, eliminamos a linha 2 e a coluna 2:
Calculando seu cofator, temos que:
C22 = (– 1)2+2 [3 ⸳ 1 – (– 2) ⸳ 5]
C22 = (– 1)4 [3 + 10]
C22 = 1 ⸳ 13 = 13
O último cofator é C31, então eliminamos a terceira linha e a primeira coluna.
C31 = (– 1)3+1 [2 ⸳ (– 1) – (– 4) ⸳ 5]
C31 = (– 1)4 [– 2 + 20]
C31 = 1 ⸳ 18 = 18
Dessa forma, a soma S dos cofatores da diagonal secundária é:
S = – 8 + 13 + 18 = 23