Menor complementar

O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator de um elemento da matriz, essencial para alguns métodos de cálculo do determinante de matrizes, principalmente matrizes de ordem 3 ou maiores, mas há também outras aplicações, como na inversão de matrizes.

O menor complementar, conhecido também como menor principal, é associado a cada termo da matriz quadrada, ou seja, cada elemento da matriz possui um menor complementar. Para encontrar o menor complementar D_ij, associado ao termo a_ij, construímos uma nova matriz sem a linha i e a coluna j e calculamos o seu determinante. Além do menor complementar, podemos calcular também o cofator de um termo da matriz. Sendo C_ij o cofator do termo a_ij, ele é calculado por C_ij = (-1)^i+j D_ij.

Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Resumo sobre menor complementar

• O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator associado a um termo da matriz.

• Representamos o menor complementar do termo a_ij por D_ij.

• Para encontrar o menor complementar de a_ij, removemos a linha i e a coluna j da matriz e calculamos o seu determinante.

• Calculando o menor complementar, é possível também encontrar o cofator C_ij, por meio da fórmula C_ij = (-1)^i+j D_ij.

Como calcular o menor complementar de um elemento da matriz?

O menor complementar ou menor principal é um número associado a cada termo de uma matriz. Calculamos o menor complementar somente para matrizes quadradas de ordem 2 ou superior, isto é, que possuem o mesmo número de linhas e de colunas e que tenham no mínimo duas linhas e duas colunas.

Para calcular o menor complementar associado ao termo a_ij da matriz, eliminamos a linha e a coluna às quais esse elemento pertence e então calculamos o determinante dessa nova matriz. O menor complementar de um determinado termo da matriz é representado por D_ij. Veja, na prática, como calcular o valor do menor complementar de um elemento da matriz.

Exemplo 1:

Começando por um exemplo simples, dada a matriz de ordem 2 a seguir, calcularemos o menor complementar de cada um de seus termos.

Resolução:

Essa matriz possui duas linhas e duas colunas, então ela é composta pelos termos:

• a₁₁ = 2

• a₁₂ = 3

• a₂₁ = 1

• a₂₂ = 4

Quando eliminamos 1 linha e 1 coluna de uma matriz de ordem 2, resta apenas uma matriz com uma linha e uma coluna, ou seja, um único termo. Em matrizes de ordem 2, o menor complementar de um termo será o termo restante.

Menor complementar do termo a₁₁:

Como o termo está na primeira linha e primeira coluna, vamos eliminar a linha 1 e a coluna 1 da matriz. Construindo uma matriz com o que restou, teremos a matriz: [4]. Então, o menor complementar é igual ao determinante dessa nova matriz, que é igual a 4. Ou seja:

D₁₁ = 4

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos encontrar D₁₂, D₂₁ e D₂₂.

• Eliminando a primeira linha e a segunda coluna, obtêm-se que D₁₂ = 1;

• Eliminando a segunda linha e a primeira coluna, obtêm-se que D₂₁ = 3;

• Eliminando a segunda linha e a segunda coluna, obtêm-se que D₂₂ = 2.

Exemplo 2:

Faremos agora um exemplo de matriz 3x3.

Dada a matriz a seguir, calcule o menor complementar do termo a₂₃:

Calcularemos o determinante da matriz, eliminando a linha 2 e a coluna 3.

Então, temos que:

D₂₃ = 2 (– 1) – 1 · 1 = – 2 – 1 = – 3

Leia também: Propriedades dos determinantes: quais são e como usar?

Menor complementar e cofator

Assim como o menor complementar, o cofator é um número associado a cada elemento da matriz. O cofator do termo que está na linha i e coluna j é representado por C_ij. Para calcular um cofator, é necessário encontrar o menor complementar e, então, utilizar a fórmula:

Note, portanto, que o que pode mudar do cofator para o menor complementar é o sinal:

• quando a soma da linha com a coluna é um número ímpar, o cofator é o inverso do menor complementar;

• quando a soma da linha com a coluna é um número par, o cofator é igual ao menor complementar.

Exemplo:

Na matriz B vista anteriormente, tinha-se D₂₃ = – 3. Agora, calcularemos C₂₃:

Resolução:

C_ij = (– 1)^i+j D_ij

C₂₃ = (– 1)^2+j3D₂₃

C₂₃ = (– 1)²⁺³ (– 3)

C₂₃ = (– 1)⁵ (– 3)

C₂₃ = (– 1) (– 3)

C₂₃ = 3

Exercícios resolvidos sobre menor complementar

Questão 1

Analise a matriz A a seguir:

O valor da diferença entre os menores complementares D₂₂ – D₁₁ é:

A) 1

B) – 1

C) – 7

D) 7

E) 0

Resolução:

Alternativa A

Ao calcular D₂₂, se eliminarmos a linha 2 e a coluna 2, restará a matriz [4], então D₂₂ = 4.

Ao calcular D₁₁, se eliminarmos a linha 1 e a coluna 1, restará a matriz [3], então D₁₁ = 3.

Conclui-se que a diferença entre esses valores é 4 – 3 = 1

Questão 2

(CPCON) A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secundária da matriz é:

A) 36

B) 23

C) 1

D) 0

E) – 36

Resolução:

Alternativa B

Os cofatores da diagonal secundária são:

C₁₃, C₂₂ e C₃₁

Para calcular C₁₃, eliminaremos a linha 1 e coluna 3. Assim, obteremos a seguinte matriz:

Calculando seu cofator, temos que:

C₁₃ = (– 1)¹⁺³ [0 ⸳ 4 – (– 2) ⸳ (– 4)]

C₁₃ = (– 1)⁴ [0 – (+ 8)]

C₁₃ = 1 ⸳ (– 8) = – 8

Para calcular C₂₂, eliminamos a linha 2 e a coluna 2:

Calculando seu cofator, temos que:

C₂₂ = (– 1)²⁺² [3 ⸳ 1 – (– 2) ⸳ 5]

C₂₂ = (– 1)⁴ [3 + 10]

C₂₂ = 1 ⸳ 13 = 13

O último cofator é C₃₁, então eliminamos a terceira linha e a primeira coluna.

C₃₁ = (– 1)³⁺¹ [2 ⸳ (– 1) – (– 4) ⸳ 5]

C₃₁ = (– 1)⁴ [– 2 + 20]

C₃₁ = 1 ⸳ 18 = 18

Dessa forma, a soma S dos cofatores da diagonal secundária é:

S = – 8 + 13 + 18 = 23