Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

Uma função é considerada do segundo grau quando pode ser escrita na forma a seguir:

f(x) = ax² + bx + c

Em que a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes, e o coeficiente a sempre deve ser diferente de zero.

Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Algumas das características dessa figura estão relacionadas aos valores dos coeficientes da função que ela representa, conforme veremos a seguir.

Coeficiente A e a concavidade da parábola

O coeficiente a, número real que multiplica x², pode ser usado para indicar a concavidade da parábola da seguinte maneira:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

A melhor maneira de saber o que é a concavidade é observar um exemplo. Na figura a seguir, por exemplo, a concavidade da parábola à esquerda é voltada para cima, e a concavidade da figura à direita é voltada para baixo.

Portanto, na parábola à esquerda, a > 0; e, na parábola à direita, a < 0.

Além disso, o coeficiente a também é responsável pela “abertura” da parábola. Para perceber isso, considere dois pontos A e B, obtidos pela interseção de uma reta paralela ao eixo x e a parábola. Quanto maior o valor do módulo do coeficiente a, menor será a distância entre os pontos A e B, como mostra o exemplo da seguinte imagem:

Coeficiente C

O coeficiente C, em uma função do segundo grau, está relacionado ao ponto de encontro da parábola com o eixo y. Isso acontece porque qualquer ponto de encontro com o eixo y precisa necessariamente ter a coordenada x = 0. Por outro lado, se quisermos saber o ponto de encontro de uma função com o eixo x, a coordenada y é que deverá ser igual a 0.

Fazendo x igual a zero na forma geral das funções do segundo grau, o seguinte resultado será encontrado:

y = ax² + bx + c

y = a0² + b0 + c

y = c

Assim, o par ordenado em que acontece o encontro entre parábola e o eixo y é: (0, c). Como os cálculos foram feitos para a forma geral das funções do segundo grau, então esse resultado é válido para todas elas.

Na função y = 2x² – 4x + 1, por exemplo, o ponto de encontro entre o eixo y e a parábola é (0, 1), conforme mostra a imagem a seguir:

Valor do discriminante e do coeficiente A

O discriminante pode ser usado para encontrar as raízes de uma função e, para isso, basta fazer y = 0 e substituir os coeficientes da função na fórmula a seguir:

∆ = b² – 4ac

É possível também descobrir quantas raízes reais a função possui apenas pelo resultado do discriminante. Para tanto, basta observar que:

Se ∆ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas.

Se ∆ = 0, a função possui apenas uma raiz real.

Se ∆ < 0, a função não possui raízes reais.

Dessa forma, podemos descobrir muito sobre a função tendo em mãos apenas esses conhecimentos. Como exemplo, note que, na função y = x² – 4, o valor de ∆ é maior que zero, pois:

∆ = b² – 4·a·c

∆ = – 4·1·(– 4)

∆ = 16

Nesse caso, o gráfico da função tocará o eixo x duas vezes.

Observe também que o coeficiente c = – 4. Portanto, o gráfico da função tocará o eixo y no ponto (0, – 4). Além disso, a concavidade da parábola dessa função é voltada para cima, assim, seu gráfico deve apresentar-se como na imagem a seguir:

Dessa maneira, com o conhecimento sobre os coeficientes, não é necessário fazer muitos cálculos para esboçar o seu respectivo gráfico. Assim, para que o esboço acima esteja completo, basta descobrir as raízes da função. Caso o coeficiente b seja diferente de zero, talvez seja necessário descobrir as coordenadas do vértice.