Relações métricas no quadrado inscrito

As relações métricas no quadrado inscrito são fórmulas usadas para calcular o lado e o apótema dessa figura utilizando apenas a medida do raio da circunferência.

As relações métricas possibilitam calcular lado e apótema do quadrado inscrito usando o raio da circunferência

Relações métricas em um quadrado inscrito são aquelas encontradas entre as medidas de seus lados, ângulos e outros elementos. Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. A imagem a seguir mostra um quadrado ABCD de lado l inscrito em uma circunferência de raio r.

Nesse caso, o centro da circunferência e seu raio são chamados, respectivamente, de centro do polígono e raio do polígono.

Assim, as relações métricas do quadrado inscrito podem depender da circunferência que contém seus lados.

1ª Relação: Os vértices consecutivos do quadrado inscrito determinam ângulos centrais retos.

Existe uma propriedade que garante que as diagonais de um quadrado são congruentes e encontram-se em seus pontos médios. Sendo assim, a distância entre o ponto de encontro das diagonais O e a circunferência é a mesma. Logo, podemos presumir que o centro do quadrado também é o centro da circunferência, como mostra a figura a seguir:

Além disso, existe outra propriedade que garante que as diagonais do quadrado são perpendiculares. Assim, o ângulo entre elas é reto. Logo, ângulos centrais no quadrado inscrito são retos.

2ª Relação: É possível calcular o lado do quadrado inscrito usando a fórmula:

l = r√2

Para mostrar isso, usaremos o triângulo APO, cujos lados são o apótema OP relativo ao lado AD, o raio OA e o lado PA, formado a partir da construção do apótema. A imagem a seguir destaca esse triângulo a fim de facilitar a compreensão do problema.

Observe que o triângulo AOP é retângulo em P e que a medida de PA é metade do lado do quadrado. Isso acontece porque o apótema é altura do triângulo AOD, que, por sua vez, é isósceles. A altura de um triângulo isósceles também é mediana de sua base.

Além disso, note também que o apótema OP e o segmento PA têm o mesmo comprimento. Isso faz com que o triângulo AOP também seja isósceles, fazendo com que os ângulos de sua base sejam iguais. Como o ângulo P é reto, os outros dois ângulos medem 45° cada.

Com isso, temos todas as medidas necessárias para calcular o lado do quadrado. Para facilitar a compreensão, a figura a seguir destaca o triângulo AOP com todas as medidas descritas acima.

Para encontrar a medida l do lado do quadrado, podemos usar o cosseno:

cos45° = l/2
r

Substituindo o valor do cosseno e realizando a divisão de frações do segundo membro, temos:

√2 = l · 1
2 2 r

√2 = l
r

l = r√2

Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2.

3ª Relação: É possível encontrar a medida do apótema do quadrado inscrito usando a fórmula:

x = r√2
2

Para mostrar isso, podemos usar quase todo o desenvolvimento da relação anterior. Apenas modificando cosseno de 45° para o seno de 45°. Toda a construção do triângulo AOP (na imagem abaixo) será exatamente igual à construção do triângulo AOP na relação métrica anterior.

Sabendo disso, calcule:

sen45° = x
r

√2 = x
2 r

r√2 = x
2

x = r√2
2

Exemplo:

Calcule o apótema e o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.

Solução: Para calcular o lado, basta usar a primeira fórmula, substituindo r por 10:

l = r√2

l = 10√2

l = 10·1,41

O lado do quadrado mede aproximadamente 14,1 cm.