Área da diferença entre duas figuras

O cálculo de algumas áreas pode depender da decomposição de uma figura geométrica. Para isso, muitas vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e somar os resultados. Outras vezes, devemos calcular as áreas de figuras distintas e subtrair os resultados.

Para esse último caso, mostraremos exemplos de como calcular uma área e, sem seguida, demonstraremos como usar uma fórmula que pode substituir todo o processo de cálculo.

Áreas obtidas pela diferença entre duas figuras

Para obter a área da diferença entre duas figuras, basta calcular a área de duas figuras e subtrair as áreas encontradas. Geralmente, as figuras cujas áreas devem ser subtraídas encontram-se uma no interior da outra, e a área pedida é referente à parte interna da figura maior e externa da figura menor.

1º Exemplo: bandeira do Brasil

Encontre a área da parte verde da bandeira do Brasil, sabendo que ela é formada por um retângulo de dois metros de largura por 1,4 metros de comprimento e que as diagonais do losango amarelo medem 1,66 metros e 1,06 metros.

Solução:

Observe que a área verde fica no interior de um retângulo, mas a parte amarela, também no interior do retângulo, não deve ser considerada. Sendo assim, devemos subtrair a área da figura amarela da área da figura verde.

A área do retângulo é obtida por:

A₁ = b·h

A₁ = 2·1,4

A₁ = 2,8 m²

A área do losango é obtida por:

A₂ = D·d

A₂ = 1,66·1,06

A₂ = 1,76 m² aproximadamente

Assim, a área da parte verde da figura pode ser obtida da seguinte forma:

A₁ – A₂

2,8 – 1,76

1,04 m²

Esse cálculo é de suma importância para determinar, por exemplo, a quantidade de tecido verde que deve ser comprado para a confecção de uma bandeira, pois impede que seja adquirido mais tecido que o necessário.

2º Exemplo: coroa circular

Duas circunferências concêntricas de raios distintos formam uma coroa circular, que é a figura presente na imagem abaixo:

Para encontrar a área da parte verde da figura, também é exigida uma subtração, uma vez que essa parte da figura é interior ao círculo maior e externa ao círculo menor. É como se precisássemos tirar um círculo de dentro do círculo verde para obter a coroa circular. Ao fazer isso, devemos subtrair sua área.

A área do círculo maior, portanto, é:

A₁ = π·r²

A₁ = 3,14·20²

A₁ = 3,14·400

A₁ = 1256 cm²

A área do círculo menor é:

A₂ = π·r²

A₂ = 3,14·15²

A₂ = 3,14·225

A₂ = 706,5 cm²

A área da parte verde da figura é obtida pela diferença entre as áreas dos dois círculos:

A₁ – A₂

1256 – 706,5

549,5 cm²

3º Exemplo

(Unifesp-SP) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

Nessas condições, calcule a área da região colorida.

Solução:

Observe que a parte colorida da figura é igual a diferença entre a área do hexágono e a área de seis setores circulares no interior do hexágono. Veja, na figura a seguir, essa mesma diferença sem a interferência da área externa das circunferências, que não entram nos cálculos:

Note também que o raio de todas as circunferências presentes na imagem é igual a 1, pois representam metade do lado do hexágono.

Em primeiro lugar, devemos determinar a área do hexágono. Para isso, precisamos dividi-lo em seis triângulos equiláteros, da seguinte maneira:

Toda vez que um polígono regular é dividido dessa maneira, os triângulos gerados são equiláteros e congruentes. Portanto, a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um desses triângulos.

Como são equiláteros, para calcular a área de um desses triângulos, podemos usar a área do triângulo equilátero, conseguida pela fórmula a seguir:

A₁ = l²√3
       4

A₁ = 2²√3
       4

A₁ = 4√3
       4

A₁ = √3

Sabendo que a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, temos:

A_h = 6√3

Agora, para determinar a área do setor circular, devemos determinar seu ângulo. Lembrando que, primeiramente, encontramos a área de um setor circular e, depois, multiplicamos o resultado por seis, uma vez que essas áreas são todas iguais, assim como o que foi feito com o triângulo equilátero.

A soma dos ângulos internos do hexágono é:

S = (n – 2)180°

S = (6 – 2)180°

S = (4)180°

S = 720°

Como o hexágono é regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, dessa forma, cada um deles mede:

S_i = 120°

Observe que esse também é o ângulo do setor circular, pois o vértice de cada ângulo interno do hexágono também é o centro da circunferência. Dessa maneira, determinamos a área da circunferência (A_C) e, por regra de três, a área do setor circular (A_SC).

A_C = π·r²

Como foi dito, o raio de qualquer circunferência nesse exercício é 1, portanto:

A_C = 3,14·1²

A_C = 3,14·1

A_C = 3,14

Logo, a área do setor circular é:

3,14 = 360°
A_SC     120°

360 A_SC = 376,8

A_SC = 376,8
          360

A_SC = 1,05, aproximadamente.

Agora, devemos multiplicar a área desse setor circular por seis, pois são seis setores presentes na figura:

A₂ = 6·1,05 = 6,3

Para finalizar, devemos subtrair a área dos seis setores circulares da área do hexágono:

A_h – A₂

6√3 – 6,3

4,09, aproximadamente.

Portanto, a área da parte colorida da imagem é igual a aproximadamente 4,09.