Área do tronco da pirâmide
A área do tronco da pirâmide pode ser calculada de algumas formas diferentes. O mais comum é calcular a área de cada um dos polígonos separadamente e, depois, somar esses resultados.
Para isso, separaremos o tronco da pirâmide em três partes: base maior, base menor e faces laterais. A área do tronco da pirâmide, portanto, é determinada pelas somas das áreas da base maior (AB), base menor (Ab) e área das faces laterais (Al).
As áreas das bases são proporcionais, pois elas são polígonos semelhantes. A área lateral é calculada pelo número de lados da base multiplicado pela área da face lateral, que é um trapézio.
Esquematicamente, essa área é determinada pela soma a seguir:
A = AB + Ab + 6Al
Vale ressaltar nem sempre é possível utilizar essa fórmula, pois nem sempre as bases são polígonos regulares ou podem ter um número de lados para o qual não existe fórmula de área. Nesse caso, o exercício oferecerá uma saída, na maioria das vezes, baseada em proporcionalidade.
Exemplo
(UFSC modificada) A base quadrada de uma pirâmide regular tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a seção assim feita tem 64 m2 de área. Qual é a área do tronco da pirâmide?
Solução: Já sabemos as áreas das bases. Como a base é quadrada, há quatro trapézios iguais nas laterais desse tronco.
Para calcular a área dos trapézios, devemos descobrir sua altura. Podemos fazer isso pelo teorema de Pitágoras. Observe a figura a seguir:
O segmento AB mede 4 m, pois é a distância entre as duas bases. Esse segmento foi traçado no centro da pirâmide porque o comprimento dos segmentos BE e AC é a metade dos lados do quadrado a que pertencem.
Descobrir o lado desse quadrado é tarefa fácil, já que sabemos sua área. O lado do quadrado da base da pirâmide é:
A = l2
64 = l2
√l2 = √64
l = 8 m
A = l2
144 = l2
√l2 = √144
l = 12
Portanto, os segmentos AC e BE medem, respectivamente, 4 m e 6 m.
Note que o segmento CD também é uma altura da pirâmide, portanto, mede 4 m. Já o segmento BD também mede 4 m, pois o quadrilátero ABCD é um paralelogramo (AC e BD são paralelos por definição e AB e CD são paralelos porque ambos são alturas). Dessa maneira, o que sobra para o segmento DE é 2 m.
Para descobrir a altura do trapézio, que é uma das faces do tronco da pirâmide, basta usar o teorema de Pitágoras.
x2 = 42 + 22
x2 = 16 + 4
x2 = 20
√x2 = √20
x = √20
x = √(22·5)
x = 2√5
A área do trapézio é dada pela seguinte expressão:
A = (B + b)h
2
Lembre-se de que as bases desse trapézio são os lados do quadrado fornecidos no exercício. Esses lados já foram calculados e suas medidas são, respectivamente, 6 m e 4 m. Portanto, substituindo todos os valores, teremos:
A = (6 + 4)2√5
2
A = (10)2√5
2
A = 10√5
Para calcular, finalmente, a área do tronco da pirâmide, basta somar as áreas de suas bases e sua área lateral, que é 4 vezes a área do trapézio. Observe:
A = AB + Ab + Al
A = 144 + 64 + 4·10√5
A = 208 + 40√5
Aproximadamente, essa área mede:
A = 208 + 40·2,24
A = 297,6 m2