Volume de sólidos geométricos

Quando falamos em volume de sólidos geométricos, fazemos referência à grandeza que representa o espaço ocupado por esses sólidos. Para calculá-lo, utilizamos fórmulas específicas para cada sólido em questão.

Os principais sólidos geométricos são:

• prismas;

• pirâmides;

• cilindros;

• cones;

• . sesfera

Para medição de volume, utilizamos como unidade de medida os metros cúbicos, seus múltiplos e seus submúltiplos.

Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Resumo sobre volume dos sólidos geométricos

• Para calcular o volume de um sólido geométrico, utilizamos uma fórmula específica para cada um deles.

• A unidade de medida do volume é o metro cúbico (m³), e seus múltiplos e submúltiplos, como o km³ e o cm³.

• As fórmulas para calcular o volume dos principais sólidos geométricos são:

→ Fórmula do volume do prisma:

V = A_b · h

→ Fórmula do volume da pirâmide:

→ Fórmula do volume do cilindro:

V = πr² · h

→ Fórmula do volume do cone:

→ Fórmula do volume da esfera:

Medidas de volume

Para realizar a medição do volume de sólidos geométricos, é necessário utilizarmos uma unidade de medida. O volume é calculado para figuras tridimensionais, logo, a sua unidade de medida são as unidades de comprimento elevadas à terceira potência, ou seja, unidades cúbicas. Utilizamos como unidade de medida:

• Metro cúbico → m³

• Múltiplos do metro cúbico:

  - Decâmetro cúbico → dam³

  - Hectômetro cúbico → hm³

  - Quilômetro cúbico → km³

• Submúltiplos do metro cúbico:

  - Decímetro cúbico → dm³

  - Centímetro cúbico → cm³

  - Milímetro cúbico → mm³

Veja a tabela com as unidades de medidas de volume ordenadas:

Cálculo de volume dos sólidos geométricos

Vejamos, a seguir, a fórmula para o cálculo do volume dos principais sólidos geométricos.

• Volume do prisma

Chamamos de prisma o sólido geométrico formado por duas bases que são polígonos quaisquer e por faces laterais formadas por paralelogramos. Para calcular o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base A_b e a altura h.

→ Exemplo de cálculo de volume do prisma

Um prisma possui base quadrada de lado igual a 6 cm e altura igual a 15 cm, então, quanto será o seu volume?

Resolução:

Como a base é quadrada, sabemos que a área da base é dada por:

A_b = l²

A_b = 6²

A_b = 36 cm²

Assim, o volume desse prisma é dado por:

V = A_b · h

V = 36 · 15

V = 540 cm³

• Volume do paralelepípedo retângulo

O paralelepípedo retângulo é um caso particular de prisma, pois tem base quadrangular. Quando a base do prisma é um retângulo, sabemos que a área da base é calculada pela multiplicação do comprimento com a largura. Desse modo, para calcular o volume, basta multiplicarmos as três dimensões do paralelepípedo retângulo.

→ Exemplo de cálculo de volume do paralelepípedo retângulo

Considerando um prisma que possui 10 cm de altura e base retangular com lados medindo 6 cm e 8 cm, calcule seu volume.

Resolução:

Note que esse prisma é um paralelepípedo retângulo, pois sua base é retangular. Para calcular seu volume, basta multiplicar as três dimensões:

V = a · b · c

V = 6 · 8 · 10

V = 480 cm³

• Volume do cubo

Tratando-se de outro caso especial de prisma, para calcular o volume do cubo, basta calcular a área da base, vezes a sua altura. Entretanto, no cubo, todas as suas dimensões possuem a mesma medida, geralmente representada por L de aresta. Assim, para calcular seu volume, basta calcular a medida da sua aresta ao cubo.

→ Exemplo de cálculo de volume do cubo

Um recipiente possui formato de um cubo com 12 cm de aresta, então, qual será o seu volume?

Resolução:

Calculando o volume do cubo, temos que:

V = a³

V = 12³

V = 1728 cm³

• Volume da pirâmide

A pirâmide é o sólido geométrico que possui uma base formada por um polígono, com faces laterais triangulares ligadas a um vértice, que é o topo da pirâmide. Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da sua base pela sua altura e dividimos por 3.

→ Exemplo de cálculo de volume da pirâmide

Uma pirâmide possui base retangular de lados iguais a 3 metros e 4 metros, e altura de 5 metros, qual será o seu volume?

Resolução:

Como a base é um retângulo, temos que:

A_b = 3 · 4 = 12 m²

Então, o volume da pirâmide será de:

• Volume do cilindro

O cilindro é considerado um corpo redondo pela sua forma arredondada. Ele possui duas bases circulares, logo, para calcular a sua área, calculamos a área da base, que é a área de um círculo, vezes a altura. Dessa forma, o volume do cilindro pode ser calculado pela fórmula a seguir:

→ Exemplo de cálculo de volume do cilindro

Calcule o volume de um cilindro que possui 3 cm de raio e 10 cm de altura.

Resolução:

V = πr² · h

V = π · 3² · 10

V = π · 9 · 10

V = 90π cm³

• Volume do cone

O cone também possui uma base formada por um círculo. Para encontrar o volume do cone, calculamos a área da sua base, que é a área do círculo, vezes a sua altura, dividido por 3.

→ Exemplo de cálculo de volume do cone

Qual é o volume de um cone que possui raio da base igual a 4 m e altura igual a 9 m?

Resolução:

• Volume da esfera

Sendo considerado o último corpo redondo, a esfera é um formato bastante comum no cotidiano. Para calcular o volume de uma esfera, é necessário conhecer o valor do seu raio:

→ Exemplo de cálculo de volume da esfera

Calcule o volume de uma esfera que possui raio medindo 3 cm (use π = 3,1).

Resolução:

Calculando o volume, temos que:

V = 4 · 3,1 · 3³ : 3

V = 4 · 3,1 · 27 : 3

V = 12,4 · 9

V = 111,6 cm³

Leia também: Planificação de sólidos geométricos

Exercícios resolvidos sobre volume de sólidos geométricos

Questão 1

(Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 

Utilize 3 como aproximação para π. 

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é

A) 6. 

B) 16. 

C) 17. 

D) 18. 

E) 21.

Resolução

Alternativa D

Primeiro calcularemos o volume do cone:

Agora encontraremos o volume do cilindro:

V_cilindro = πr²h

V_cilindro = π ⸳ 3² ⸳ 12

V_cilindro = π ⸳ 9 ⸳ 12

V_cilindro = 108π

Utilizando π = 3, temos que:

V_silo = 9 ⸳ 3 + 108 ⸳ 3 = 351 m³

Como o caminhão leva 20 m³ por viagem, então o número de viagens necessárias é calculado pela divisão 351 : 20 = 17,55. Como não é possível que ele faça 17 viagens e meia, então serão necessárias 18 viagens no mínimo.

Questão 2

(Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

A) 156 cm³

B) 189 cm³

C) 192 cm³

D) 216 cm³

E) 540 cm³

Resolução:

Alternativa B

Calcularemos a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor (que foi retirada). Sabemos que a altura da pirâmide maior é 19 – 3 = 16 cm, pois há um espaço de 1 cm a cada bloco.

A pirâmide maior possui base quadrada com 6 cm de lado, e, como a base é um quadrado, então:

A _b = l² = 6² = 36

Calculando o volume da pirâmide maior, temos que:

A altura da pirâmide menor na parte superior é 16 : 4 = 4, e a aresta é 6 : 4 = 1,5. Então, a área da base dessa pirâmide menor é 1,5² = 2,25. Calculando o volume, temos que:

A diferença entre os volumes é 192 – 3 = 189.