Inequações trigonométricas: senx > k

Inequações trigonométricas são desigualdades que possuem, pelo menos, uma razão trigonométrica, em que a incógnita é um arco expresso em radianos. As inequações fundamentais da Trigonometria são seis: senx > k, senx < k, cosx > k, cosx < k, tgx > k e tgx < k.

Toda inequação trigonométrica pode ser reduzida a uma dessas inequações fundamentais, portanto, saber resolver essas inequações é essencial. Neste artigo, resolveremos a inequação fundamental senx > k, fazendo uso do ciclo trigonométrico, e chegaremos a uma fórmula de solução para toda inequação nesse formato.

Para compreender a solução dessa inequação, é preciso conhecer alguns detalhes a respeito do ciclo trigonométrico.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, cujo centro está na origem C de um plano cartesiano. Sobre essa circunferência, é possível determinar todas as medidas de seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo, fazendo uso, para isso, dos eixos do plano cartesiano e do eixo construído das tangentes.

No ciclo, o eixo x do plano cartesiano é chamado eixo dos cossenos; o eixo y é o de eixo dos senos e o eixo das tangentes é uma reta paralela ao eixo y, que passa pelo ponto A (1, 0).

Para construir um ângulo qualquer no ciclo, é simples: o vértice desse ângulo é o centro C do ciclo, e um dos lados desse ângulo é o segmento CA. O segundo lado desse ângulo gira no sentido anti-horário percorrendo toda a circunferência, de modo que uma volta completa representa 360°, meia volta, 180°, e assim por diante.

Um exemplo de ângulo α no ciclo trigonométrico é o seguinte:

Na imagem acima, o ponto D é a projeção ortogonal do ponto B sobre o eixo dos cossenos, e o ponto E é a projeção de B sobre o eixo dos senos. Sendo assim, o ângulo entre BD e CD é reto, e o segmento BD tem o mesmo comprimento que o segmento EC. A medida do segmento EC (que está sobre o eixo dos senos) é exatamente a medida do seno de α, pois o segmento EC está relacionado a esse ângulo pelo ciclo trigonométrico.

Além disso, o arco menor AB, em radianos, é a outra medida que está relacionada ao seno de α.

Solução da inequação senx > k

Para encontrar o conjunto de soluções da inequação senx > k, marque o ponto k no eixo dos senos do ciclo trigonométrico. Primeiramente, analisaremos o caso em que 0 ≤ k < 1. Lembre-se de que os limites para os valores de k são – 1 e 1 devido ao raio do ciclo trigonométrico.

Com o ponto k marcado sobre o eixo dos senos, faça a reta paralela ao eixo x que passa por k e marque os pontos de encontro dela com o ciclo. Por esses pontos, construa os ângulos correspondentes aos arcos α e β.

Observe que meia volta é igual a π. Por isso, subtraindo α de π, teremos um valor equivalente à medida do ângulo β. Assim, as medidas, em radianos, dos ângulos formados são α e π – α. A figura abaixo ilustra essa construção.#

Observe que ambos os ângulos estão relacionados ao mesmo valor de seno, que é o senx. Esses dois ângulos são as extremidades do intervalo que contém todos os ângulos cujo seno é maior do que k. Esses ângulos estão relacionados aos valores entre k e 1 no eixo dos senos. Note também que os arcos relacionados a esses valores têm início no ponto A e findam em qualquer ponto dentro do arco menor BE, como mostra a imagem a seguir.

Assim, a solução para a inequação senx > k é o intervalo constituído pelo arco menor que vai do ponto A até o ponto B, que pode ser descrito da seguinte maneira:

S = {xER| α < x < π – α}

No caso em que – 1 ≤ k < 0, os ângulos formados na construção serão: π + α e 2π – α, portanto, o conjunto de soluções será:

S = {xER| 2π – α < x < 2π ou 0 < x < π + α}

Essas soluções são válidas apenas para a primeira volta. A partir da segunda volta, será necessário somar a parcela 2kπ em cada uma das medidas de arcos.