Bissetriz

A bissetriz é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes, ou seja, dois ângulos com a mesma medida. Quando traçamos as bissetrizes de um triângulo, podemos perceber que elas se encontram em um único ponto, o qual é conhecido como incentro, sendo o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Leia também: Mediatriz — a reta que passa de forma perpendicular pelo ponto médio de um segmento de reta

Resumo sobre bissetriz

• A bissetriz é uma semirreta que divide o ângulo em duas partes com a mesma medida.
• As bissetrizes dos ângulos internos do triângulo se encontram em um ponto conhecido como incentro.
• Podemos traçar tanto a bissetriz interna quanto a bissetriz externa de um triângulo.
• No triângulo existem dois teoremas importantes envolvendo a bissetriz: o teorema do ângulo interno e o teorema do ângulo externo.
• No plano cartesiano, temos a bissetriz do quadrante ímpar, de equação y = x, e do quadrante par, com equação y = - x.

O que é bissetriz?

A bissetriz é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (com a mesma medida). Considerando um ângulo formado pelos pontos ABC, com vértice em B, sua bissetriz é a semirreta BD que parte do vértice do ângulo e divide este em dois ângulos congruentes.

Como se constrói uma bissetriz?

Para encontrar geometricamente a bissetriz de um determinado ângulo, é necessário utilização de régua e também de um compasso. Veja o passo a passo a seguir:

• Passo 1: Considerando o ângulo AOB, primeiro colocamos a ponta seca do compasso sob o vértice do ângulo e, depois disso, traçamos um arco entre as semirretas que formam o ângulo:

• Passo 2: Posteriormente, colocamos a ponta seca sobre o ponto de intersecção do arco com o ponto B e traçamos outro arco, da seguinte maneira:

• Passo 3: Agora, repetiremos o procedimento colocando a ponta seca do compasso sobre o ponto A e traçando um novo arco:

• Passo 4: Note que há dois pontos de encontro dos dois arcos; a bissetriz do ângulo é a semirreta que parte da origem e passa por ambos:

Quais são os tipos de bissetriz?

Existem dois tipos de bissetriz:

• Bissetriz interna: é a semirreta que divide o ângulo interno ao meio.
• Bissetriz externa: é a semirreta que divide o ângulo suplementar ao ângulo interno, ou seja, o ângulo externo do polígono.

Bissetriz de um triângulo

Podemos traçar a bissetriz interna de qualquer um dos ângulos de um triângulo, como o da imagem a seguir:

Quando traçamos as bissetrizes dos três ângulos do triângulo, encontramos o incentro, que corresponde ao ponto de encontro das três bissetrizes; além disso, o incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Veja também: Como encontrar o baricentro do triângulo?

Teorema da bissetriz interna

O teorema da bissetriz interna utiliza a proporcionalidade dos segmentos formados quando traçamos a bissetriz interna de um triângulo. Quando traçamos a bissetriz, dividimos um lado do triângulo em duas partes que são proporcionais aos lados adjacentes do triângulo.

De modo geral, temos que:

\(\frac{b}{c}=\frac{a}{d}\)

• Exemplo:

Qual é o valor de x no triângulo a seguir, sabendo que BD é bissetriz do triângulo?

Resolução:

Pelo teorema da bissetriz interna, temos que:

\(\frac{5}{12,5} =\frac{7,5}{x}\)

\(5x=7,5 ⋅12,5\)

\(5x = 93,75\)

\(x=\frac{93,75}{5}\)

\(x=18,76 cm\)

Teorema do ângulo externo

Os ângulos externos do triângulo são os ângulos encontrados quando traçamos o prolongamento de um dos lados do triângulo. Ao traçar a bissetriz de um ângulo externo do triângulo e traçar o prolongamento do lado oposto ao ângulo cuja bissetriz foi traçada, o prolongamento do lado oposto ao ângulo externo forma segmentos proporcionais.

\(\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}\)

• Exemplo:

Sabendo que AD é a bissetriz do ângulo externo do triângulo, qual o valor de x?

Sabemos que:

\(\frac{x}{12+6}=\frac{8}{12}\)

\(\frac{x}{18}=\frac{8}{12}\)

\(12x=18⋅8 \)

\(12x=144\)

\(x=\frac{144}{12}\)

\(x=12 cm\)

Bissetrizes dos quadrantes do plano cartesiano

No plano cartesiano temos duas bissetrizes: a bissetriz dos quadrantes ímpares, que passa pelo 1º e 3º quadrante, e a bissetriz dos quadrantes pares, que passa pelo 2º e 4º quadrante. Como o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, a bissetriz divide esse ângulo em ângulos de 45°.

→ Bissetriz dos quadrantes ímpares

A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta com equação y = x.

→ Bissetriz dos quadrantes pares

A bissetriz dos quadrantes pares é a reta com equação y = -x.

Veja também: Quais os pontos notáveis do triângulo?

Exercícios resolvidos sobre bissetriz

Questão 1

O ângulo AOB foi divido em dois ângulos pela semirreta AC. O primeiro ângulo mede 2x + 15°; já o segundo mede 3x – 25°. Se AC é bissetriz, então o valor de x é:

A) 8°

B) 10°

C) 12°

D) 14°

E) 16°

Resolução:

Alternativa A.

Para calcular a medida de x, vamos igualar os ângulos:

\(3x – 25 = 2x + 15\)

\(3x + 2x = 25 + 15\)

\(5x = 40\)

\(x=\frac{40}{5}\)

\(x=8\)

Questão 2

Marque a alternativa que melhor define o que é o incentro de um triângulo:

A) É o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

B) É o ponto de encontro das alturas de um triângulo.

C) É o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo.

D) É o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo.

E) É o centro de uma circunferência.

Resolução:

Alternativa D.

O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo.

Fontes

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 1995.

CAMARGO, Ivan. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3ª edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.