Retas paralelas

Retas paralelas são duas retas contidas em mesmo plano que não possuem nenhum ponto em comum, ou seja, são retas que nunca se cruzam. Existem outras posições possíveis para as retas: elas podem ser concorrentes, quando se encontram em um único ponto, ou coincidentes, quando possuem infinitos pontos em comum.

O estudo das retas paralelas tem grande relevância na Geometria, pois possibilita lidar com ângulos formados por uma reta paralela cortada por uma transversal. Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, elas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos agudos são congruentes entre si, os obtusos são congruentes entre si, e um ângulo agudo mais um obtuso somam sempre 180°.

O estudo das retas paralelas possibilitou também o desenvolvimento do teorema de Tales, que mostra uma relação de proporcionalidade entre os segmentos de reta formados por retas paralelas cortadas por mais de uma reta transversal.

Leia também: Noções primitivas de Geometria — ponto, reta, plano e espaço

Resumo sobre retas paralelas

• Duas retas pertencentes ao mesmo plano são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum.
• Além de paralelas, as retas podem ser concorrentes ou coincidentes.
• Há uma relação entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
• O teorema de Tales mostra uma relação de proporcionalidade entre os segmentos de reta formados por retas paralelas cortadas por mais de uma reta transversal.

Diferenças entre reta, semirreta e segmento de reta

A reta é um dos elementos primitivos da Geometria Plana, o que torna possível todo um desenvolvimento de conceitos importantes, como o de semirreta, de segmento de reta e mesmo a ideia de retas paralelas. Para compreender o que é uma reta paralela, é importante entender a diferença entre reta, semirreta e segmento de reta.

• Reta: é o principal dentre os elementos citados. Por ser um objeto primitivo, ela não possui uma definição, mas todos sabemos que a reta possui infinitos pontos organizados de forma linear.

• Semirreta: a semirreta é uma parte de uma reta. É limitada de um lado e infinita do outro, como se fosse a metade de uma reta.

• Segmento de reta: o segmento de reta é também uma parte da reta, mas nesse caso ela é limitada dos dois lados, ou seja, o segmento de reta liga dois pontos.

Posições relativas entre retas

Podemos classificar as retas pertencentes a um mesmo plano de três maneiras distintas. As retas podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes.

• Retas paralelas

Duas ou mais retas pertencentes a um mesmo plano são classificadas como paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum. Isso significa que essas retas nunca se encontram.

• Retas concorrentes

Duas retas são consideradas concorrentes quando se encontram em um único ponto, ou seja, quando se cruzam.

• Retas coincidentes

Duas retas são classificadas como coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum. Logo, é como se as duas retas fossem uma só, pois ocupam o mesmo lugar geométrico.

Leia também: Posições relativas entre reta e plano

Teorema de Tales

O teorema de Tales é uma relação encontrada entre os segmentos de reta formados quando há retas paralelas cortadas por mais de uma reta transversal. Esse teorema afirma que um feixe de retas paralelas determina segmentos proporcionais sobre duas ou mais retas transversais.

\(\frac{\overline{{AM}}}{\overline{{MB}}}=\frac{\overline{{AN}}}{\overline{{NC}}}\)

Ao cortar duas retas paralelas por mais de uma transversal, essas transversais formam segmentos que são proporcionais, e podemos usar essa proporção para encontrar valores desconhecidos.

• Videoaula sobre o teorema de Tales

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Quando realizamos a intersecção de duas retas paralelas por uma reta conhecida como reta transversal, é possível identificar a formação de oito ângulos:

Há uma relação entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal:

• os ângulos agudos são congruentes;
• os ângulos obtusos são congruentes;
• a soma de um ângulo obtuso com um ângulo agudo é igual a 180°.

• Videoaula sobre retas paralelas cortadas por uma transversal

Exercícios resolvidos sobre retas paralelas

Questão 1

Duas retas pertencentes ao mesmo plano são consideradas paralelas quando:

1. possuem um único ponto em comum.
2. possuem infinitos pontos em comum.
3. se cruzam formando ângulos retos.
4. não possuem nenhum ponto em comum.
5. possuem dois pontos em comum.

Resolução:

Alternativa D

Duas retas são paralelas quando elas pertencem ao mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum.

Questão 2

Sobre as possíveis posições relativas entre retas, faça as correspondências de forma correta:

1. Retas concorrentes
2. Retas coincidentes
3. Retas paralelas

(  ) Retas que nunca se encontram.

(  ) Retas que se cruzam em um único ponto.

(  ) Retas que possuem infinitos pontos em comum.

A ordem correta é:

1. I, II e III
2. II, I e III
3. III, I e II
4. III II e I
5. I, III e II

Resolução:

Alternativa C

• (III) Retas que nunca se encontram são retas paralelas.
• (I) Retas que se cruzam em um único ponto são retas concorrentes.
• (II) Retas que possuem infinitos pontos em comum são retas coincidentes.

A ordem correta, portanto, é III, I e II.