Soma dos termos de uma PG infinita

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica na qual qualquer termo (a_n) é resultado do produto de seu antecessor (a_{n – 1}) com uma constante, chamada razão (q) da PG. É possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira:

Veja também: Soma dos termos de uma PA finita

Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a₁ é o primeiro termo dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero e 1, exceto por esses valores.

Para testar a validade dessa fórmula, usaremos os exercícios resolvidos a seguir.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é meio.

A PG em questão é:

(10, 5,  5 , … )
   2

Podemos obter o próximo número dessa PG dividindo o termo que o antecede por 2. Logo, a razão dessa PG é ½.

Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:
 

Para resolver esse problema, usamos a divisão de frações. Para dividir duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Para mais informações a respeito desse procedimento, leia o texto “Multiplicação e divisão de frações", clicando aqui.

Exercício 2

Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …).

O primeiro termo da PG é 1. Para encontrar sua razão, basta dividir qualquer termo por seu antecessor.

0,5 : 1

Para resolver essa divisão, basta multiplicar ambos os termos por 10. Assim, teremos:

5 : 10 = 0,5

Logo, a razão dessa PG é 0,5. O cálculo da soma dos termos da PG infinita pode ser feito usando q = 0,5 ou escrevendo esse decimal na forma de fração. Optamos pelo segundo método. Observe apenas que, encontrando a fração irredutível, o cálculo será facilitado:

0,5 =  5 _:5  =  1 
        10_:5       2

Substituindo o primeiro termo e a razão na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:

Outras fórmulas e conhecimentos

Também existe a possibilidade de usar outras fórmulas e conhecimentos para encontrar a soma de termos de uma PG infinita. No exercício a seguir, usaremos a fórmula do termo geral da PG para encontrar o valor do primeiro termo da PG para depois calcular a soma de seus termos.

Exercício 3

Calcule a soma dos termos da PG infinita que possui razão 1/4 (um quarto) e seu quarto termo é 1/16 (um dezesseis avos).

Para resolver esse problema, precisamos descobrir o primeiro termo dessa PG. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral da PG:

Conhecendo a razão e o primeiro termo, basta substituir esses valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita: