Área do cone

A área do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base. Para calculá-la, utilizamos a fórmula A = π · r (r + g), em que r é o raio e g é a geratriz do cone.

A área total do cone é formada pela área da base e a sua área lateral.

A área do cone é formada pela área da base e a sua área lateral, configurando a medida da superfície de um cone. Se fizermos a planificação do cone, é possível perceber que ele é composto por uma base que possui formato de um círculo e uma área lateral que possui formato de um arco. Para calcular a área do cone, somamos a área da sua base com a sua área lateral.

Portanto, para realizar o cálculo da área total do cone, é necessário conhecer o raio da base, representado por r, e a geratriz do cone, representada por g. Com o valor dessas duas medidas, utilizamos a fórmula A = π · r (r + g).

Veja também: Tronco de cone — a parte inferior de um cone após ser seccionado de forma paralela à sua base

Resumo sobre área do cone

A área do cone é a medida da sua superfície.
O cone é formado por vértice, geratriz, altura e raio da base.
A geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo.
Para calcular a área do cone, somamos a sua área lateral, formada por um arco, com a área da base, que é um círculo.
A fórmula para calcular a área total do cone é A = π · r (r + g).

Videoaula sobre área do cone

Elementos do cone

O cone é um sólido geométrico considerado um corpo redondo. Os sólidos geométricos são estudados na geometria espacial, e a área é uma medida importante para esse sólido. Para compreender o cálculo da área de um cone, é importante, inicialmente, revermos os principais elementos de um cone. São eles, o vértice, a geratriz, a altura e o raio da base.

Elementos do cone

Vértice: é o ponto V, que fica na parte superior do sólido.
Raio: é o raio do círculo que forma a base do cone.
Geratriz: é o segmento de reta que liga o vértice V a um ponto pertencente à circunferência da base do cone.
Altura: é o segmento que liga o vértice e vai até a base do cone de forma perpendicular.

Existe uma relação importante no cone, tendo em vista que, como é possível notar na imagem anterior, a geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo. Assim, os valores dessas três medidas se relacionam de forma pitagórica, pois, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

g² = r² + h²

Planificação do cone

Quando planificamos o cone, nota-se que é possível dividi-lo em duas regiões, a base e a sua área lateral. Vejamos, a seguir, como é o cone planificado.

Planificação de um cone

A partir da planificação, podemos desenvolver uma fórmula para o cálculo da área do cone, já que ele possui a área da base no formato de um círculo e uma área lateral.

Saiba também: Princípio de Cavalieri — postulado utilizado para determinar fórmulas de volumes na geometria espacial

Cálculo da área do cone

A base do cone é um círculo, logo, a área deste é calculada por:

A_b = π · r²

Já a área lateral do cone é calculada por:

A_l = π · r · g

Como a área do cone é a soma da área da base com a sua área lateral, temos:

A = π · r² + π · r · g

Note que π · r é um fator comum aos dois temos. Portanto, colocando esse produto em evidência, podemos encontrar a fórmula para o cálculo da área total do cone:

A = π · r (r + g)

r: raio

g: geratriz

Exemplos de aplicação da fórmula de cálculo da área do cone:

Exemplo 1:

Encontre a área total de um cone que possui raio da base igual a 4 cm e geratriz igual a 5 cm.

(Use π = 3,14)

Substituindo os valores dados na fórmula da área total do cone, calcula-se:

A = π · r (r + g)

A = 3,14 · 4 (4 + 5)

A = 3,14 · 4 · 9

A = 3,14 · 36

A = 113,04 cm²

Exemplo 2:

Encontre a área total do cone que possui raio da base igual a 16 cm e 12 cm de altura.

(Use π = 3,14)

Para calcular a área total desse cone, primeiramente é necessário encontrar a medida da sua geratriz.

g² = h² + r²

g² = 16² + 12²

g² = 256 + 144

g² = 400

g = √400

g = 20 cm

Agora que conhecemos a geratriz, calcularemos a área total:

A = π · 16 (16 + 20)

A = 3,14 · 16 (36)

A = 3,14 · 16 · 36

A = 1808,64 cm²

Acesse também: Cilindros — sólidos geométricos classificados como corpos redondos

Exercícios resolvidos sobre área do cone

Questão 1

Um enfeite de festa é confeccionado no formato de um cone reto, que possui 6 cm de raio e 8 cm de altura. Sabendo que o custo do cm² é de R$ 0,15, o valor para produzir 30 lembrancinhas é de:

(Use π = 3)

A) R$ 28,50

B) R$ 32,90

C) R$ 43,20

D) R$ 45,40

E) R$ 50,00

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a geratriz, obtemos:

g² = 6² + 8²

g² = 36 + 64

g² = 100

g = √100

g = 10

A = π · r (r + g)

A = 3· 6 (6 + 10)

A = 3 · 6 · 16

A = 288 cm²

Como o custo é de R$ 0,15 por cm²:

288 · 0,15 = 43,2

Conclui-se que o valor do enfeite é de R$ 43,20.

Questão 2

Um reservatório será construído com o formato de um cone reto. A área total desse reservatório, incluindo a sua base, será de 18 m². Sabendo que o raio da base será de 1,5 metro e utilizando 3 como aproximação de π, o valor da geratriz desse reservatório será de

A) 2,0 metros.

B) 2,5 metros.

C) 3,0 metros.

D) 3,5 metros.

E) 4,0 metros.

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que a área A = 18 e que r = 1,5. Utilizando π = 3 para substituir na fórmula, temos o seguinte:

A = π · r (r + g)

18 = 3 · 1,5 (1,5 + g)

18 = 4,5 (1,5 + g)

18 : 4,5 = 1,5 + g