Função bijetora

Também chamada de bijeção ou função bijetiva, uma função bijetora é aquela que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Por ser injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio. Dessa maneira, é correto afirmar que uma função bijetora apresenta a propriedade a seguir:

f ↔ (x' ≠ x'' → f(x') ≠ f(x'')), para todo x' e x'' pertencentes ao domínio de f.

Além disso, por serem sobrejetoras, as funções bijetoras devem possuir o contradomínio igual à imagem, isto é, para todo elemento do domínio, deve existir um elemento no contradomínio.

Em outras palavras, todo elemento pertencente ao domínio de uma função bijetora está relacionado com um único elemento de seu contradomínio. Além disso, não sobram elementos no contradomínio que não estão relacionados com elementos do domínio.

Nas funções bijetoras, portanto, não há que se falar em contradomínio. Podemos substituir essa palavra por “imagem” sempre, pois esses conjuntos são iguais.

Exemplos de função bijetora

1) y = x³, com x pertencente aos números reais.

Essa função é bijetora porque, qualquer que seja o elemento x, não existirão dois elementos distintos na imagem relacionados a ele e, além disso, a imagem é igual ao contradomínio.

2) y = x, com x pertencente aos números reais.

Observe que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais. Perceba também que ela relaciona um número a ele mesmo. Por exemplo, se x = 1, y também é igual a 1. Dessa maneira, elementos diferentes no domínio possuem imagens diferentes no contradomínio. Além disso, o contradomínio é igual à imagem, pois ambos são o conjunto dos números reais. Sendo assim, essa função é bijetora.

Exemplos de funções que não são bijetoras

1) y = x², com domínio e contradomínio definidos nos números reais.

Observe, em primeiro lugar, que valores distintos do domínio nem sempre possuem imagens distintas. Observe os valores 2 e – 2 nessa função:

f(x) = x²

f(2) = 2²

f(2) = 4

f(– 2) = (– 2)²

f(– 2) = 4

Ambos os valores do domínio estão relacionados com o mesmo representante da imagem. Dessa maneira, a função não é injetora. Além disso, nem todo o contradomínio é utilizado nessa função. Para perceber isso, observe que nenhum valor do domínio, ou seja, atribuído a x, tem como resultado um número negativo. Sendo assim, a função não é sobrejetora.

2) y = 2x, com domínio e contradomínio definidos nos números naturais.

Essa função relaciona números naturais a números pares. Observe que números naturais distintos possuem resultados pares também distintos, logo, a função é injetora. Entretanto, perceba que nem todos os elementos do contradomínio estão relacionados a elementos do domínio. Sendo assim, o contradomínio e a imagem são conjuntos distintos e, por isso, a função não é sobrejetora.

Logo, y = 2x não é bijetora.