Função injetora

A função é considerada injetora quando dois elementos quaisquer, distintos, do domínio da função são transformados pela função em elementos distintos do contradomínio.

Nos estudos das funções, uma função pode ser classifica como função injetora. Uma função f: A → B é classificada como injetora quando dados quaisquer dois elementos distintos pertencentes ao domínio. Esses elementos sempre vão possuir imagens diferentes no contradomínio, ou seja, dados quaisquer elementos a e b pertencentes ao conjunto A, com a ≠ b, então, f(a) ≠ f(b).

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Nem todas as funções são injetoras, e, para verificar se uma função é injetora ou não, é de grande importância analisar o comportamento da função para o domínio e o contradomínio determinados, pois analisar somente a lei de formação da função não é o suficiente para conseguir verificar se a função é ou não injetora. Ser uma função injetora é um caso especial de função, pois as funções injetoras possuem propriedades específicas a elas.

Leia também: O que é uma função bijetora?

Resumo sobre função injetora

Uma função pode ser ou não injetora.
Uma função é injetora se dados quaisquer elementos a e b, com a ≠ b, pertencentes ao domínio da função, então, f(a) ≠ f(b).
Para verificar se uma função é injetora, analisamos seu comportamento para o domínio e contradomínio da função.

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Videoaula sobre função injetora, sobrejetora e bijetora

O que é função injetora?

Uma função é considera injetora ou injetiva se os elementos diferentes do domínio sempre possuírem imagens diferentes. Para avaliar se uma função é injetora ou não, analisamos se existe ou não dois elementos do domínio que possuem a mesma imagem no contradomínio. De forma algébrica, definimos uma função f: A → B como injetora se:

Exemplo:

Exemplo de um diagrama de uma função injetora.

Analisando o diagrama, podemos perceber que essa é uma função injetora. Veja que não existe dois elementos do conjunto A ligados a um mesmo elemento do conjunto B, isso significa que dois elementos distintos do conjunto A sempre possuem imagens diferentes no conjunto B, o que faz com que essa função seja injetora.

Vejamos agora um contraexemplo:

Exemplo de um diagrama de uma função não injetora.

Perceba que, por mais que essa relação seja uma função, nesse caso, não se trata de uma função injetora, pois podemos observar que existem dois elementos distintos do domínio, ou seja, do conjunto A, que possuem a mesma imagem no contradomínio.

Como calcular uma função injetora?

Verificamos se uma função é injetora ou não analisando o comportamento da sua lei de formação dentro do domínio e contradomínio definidos. É importante ressaltar que só a lei de formação não é o suficiente para analisarmos se a função é ou não é injetora, pois podemos ter diferentes domínios e contradomínios para uma mesma lei de formação.

Exemplo 1:

Dada a função f: R → R com a lei de formação f(x) = 3x, verifique se ela é injetora.

Primeiro analisamos o domínio e o contradomínio, que, nesse caso, são o conjunto dos números reais. Analisando a lei de formação, podemos ver que ela pega um número real e gera como imagem o triplo dele. Então, se x₁ ≠ x₂ nessa função, sabemos que:

f(x₁) = 3x₁

f(x₂) = 3x₂

Então, temos que:

f(x₁) ≠ f(x₂)

Como são dois números distintos, o triplo deles também o será. Então, para quaisquer dois elementos do domínio, a imagem será sempre distinta, o que faz com que essa função seja injetora.

Exemplo 2:

Dada a função f: R → R com lei de formação f(x) = x², verifique se ela é injetora.

Nesse caso, para o domínio e o contradomínio no conjunto dos números reais, a função não é injetora, pois, dado um número a e o seu oposto, ou seja, -a, sabemos que:

f(a) = a²

f(-a) = (-a)² = a²

Então, para dois números distintos, a imagem pode ser a mesma, por exemplo, vejamos f(3) e f(-3):

f(3) = 3² = 9

f(-3) = (-3)² = 9

Note que f(3) = f(-3) possui mesma imagem com 3 ≠ -3, então, essa função não é injetora para esse espaço amostral.

Exemplo 3:

Dada a função f: R⁺ → R com lei de formação f(x) = x².

Utilizando a mesma lei de formação da função anterior, perceba que agora o domínio são os números reais positivos, e o contradomínio, os números reais. Como os números negativos não estão no nosso domínio, nesse caso, teremos uma função injetora, pois, escolhendo dois números distintos no domínio, a imagem sempre será distinta também.

Gráfico de uma função injetora

Analisando o gráfico da função, também é possível analisar se ela é ou não injetora para o intervalo representado nele. Sabemos que a função é injetora se valores diferentes do domínio gerarem sempre imagens diferentes, então, vejamos alguns exemplos de gráficos de funções injetoras:

Três gráficos de funções injetoras. — Gráficos de funções injetoras.

Analisando o gráfico, é possível perceber que qualquer valor de y nos gráficos apresentados é imagem de um único valor.

Agora veremos exemplos de gráficos de funções que não são injetoras:

Dois gráficos de funções não injetoras. — Gráficos de funções não injetoras.

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x, em uma determinada altura y, é possível perceber que y será a imagem de mais de um valor no eixo x, o que faz com que essas funções não sejam injetoras.

Exercícios resolvidos sobre função injetora

Questão 1 - Analise a função a seguir, e julgue as afirmativas sabendo que a função possui domínio e contradomínio nos reais com a lei de formação f(x) = |5x + 4|.

I → Essa função é injetora.

II → f(2) = f(-2)

III → A imagem dessa função é o conjunto dos números reais positivos.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Todas as afirmativas são falsas.

Resolução
Alternativa C

I → Essa função é injetora. (falsa)
Em uma função modular, há valores distintos de x que possuem a mesma imagem.

II → f(2) = f(-2) (falsa)
f(2) = |5 · 2 + 4| = |10 + 4| = 14
f(-2) = |5 (-2) + 4| = |-10 + 4| = |-6| = 6

III → A imagem dessa função é o conjunto dos números reais positivos. (verdadeira)
Como a função é uma função modular |5x + 4|, sempre será um número real positivo, independentemente do valor de x.

Questão 2 - (Enem 2017 PPL) No primeiro ano do Ensino Médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na Festa Junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A, e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.

Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é:

A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.

B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.

C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.

D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.

E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.

Resolução

Alternativa A

Podemos afirmar que essa função é injetora, pois para cada menina existe um único menino que é o seu par. Note que não é possível que um menino dance com duas meninas ao mesmo tempo, logo, meninas diferentes vão dançar com meninos diferentes.