Função inversa

Conhecemos como função inversa aquela f(x)^-1 que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f^-1: B → A, tal que f(b) = a.

Nem toda função admite uma inversa, podemos encontrar a função inversa só quando a função for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos realizar operações com a equação, para que seja possível que ela realize, de fato, o inverso da função.

Por exemplo, se a função f(x) faz com que os valores de x dobrem, ou seja, pegamos o valor de x e multiplicamos por 2, a função inversa fará o contrário, ou seja, com que o valor seja dividido por 2.

Leia também: 5 passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Quando uma função admite inversa?

Quando falamos de função inversa, nem toda função é inversível, ou seja, nem sempre conseguimos encontrá-la. Para isso, a função precisa ser necessariamente bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio, isso significa que para todo elemento b no contradomínio existe um elemento em a, tal que f(a) = b.

Para que uma função seja injetora, cada imagem possui um único correspondente associado a ela no contradomínio.

Exemplo de funções injetoras e sobrejetoras, com domínio e contradomínio nos números reais:

• f(x) = 2x + 1

• f(x) = x³

Um exemplo de função que não é injetora é a função com domínio e contradomínio nos reais, com lei de formação f(x) = x², pois f(2) = 4 e f(-2) = 4, logo, para valores diferentes de x, tem-se a mesma imagem y, o que faz com que essa função definida para esse domínio e contradomínio não admita função inversa.

A função f(x) = x² também não é sobrejetora, pois, como definimos o contradomínio sendo o conjunto dos números reais, não existe valor de x que faça com que f(x) = -2 nesse conjunto.

Como se determina a função inversa?

Para determinar a função inversa, precisamos compreender bem o domínio e o contradomínio da função que estamos trabalhando.

Seja f(x) uma função, f: A → B, em que A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g, h}, tal que:

Primeiro vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora.
Para que ela seja injetora, para cada elemento de B, deve existir um único elemento de A associado, o que ocorre nesse caso. Além disso, para que ela seja sobrejetora, todos os elementos de B devem possuir correspondente em A, o que também ocorre nesse caso, então f é bijetora, logo, ela admite inversa.

Dados os conjuntos A e B já conhecidos, então a inversa de f será a função f^-1 : B → A.

Veja também: O que é uma função constante?

Como se determina a lei de formação da função inversa?

Muitas vezes o interesse maior está na lei de formação da função. Para determinar essa lei, torna-se necessário o estudo de equações, pois vamos inverter as incógnitas na lei de formação da função, faremos a inversão de x por y e de y por x, ou então de x por f(x) e de f(x) por x. Veja alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1:

f(x) = 2x – 6

f: R → R

Faremos f(x) = x e x = f(x), então temos que

x = 2 f(x) – 6

É necessário isolar o f(x), então temos que:

Exemplo 2:

y = 3^x

Trocando x por y:

x = 3^y

Aplicando logaritmo de base 3 dos dois lados:

log₃ x = log₃3^y
log₃ x = ylog₃3
log₃ x = y · 1
log₃ x = y
y = log₃ x

Então a inversa da função y = 3^x é a função y = log₃ x.

Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?

Gráfico da função inversa

Ao compararmos os gráficos de duas funções inversas, sempre será possível encontrar um eixo de simetria entre elas.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (UEL) Sendo f: R → R₊^* a função definida por f(x) = 2^x, então a expressão que define a função inversa de f é:

A) x²
B) 2/x
C) log₂x
D) √x
E) 2^-x

Resolução

Alternativa C

f(x) = 2^x

Trocando x por f(x):

x = 2^f(x)

Aplicando logaritmo dos dois lados:

log₂x = log₂2^f(x)
log₂x = f(x)log₂2
log₂x = f(x) · 1
log₂x = f(x)
f(x) = log₂x

Questão 2 – Seja f : A → B, tal que f(x) = 5x – 3, uma função inversível, então o valor de f^-1(7) é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Resolução

Alternativa C

Dada duas funções inversas, sabemos que f(a) = b → f^--1(b) = a, sendo assim, calcular f^-1(7) é o mesmo que encontrar o valor de x, tal que f(x) = 7.

Então faremos:

f(x) = 5x – 3 = 7
5x = 7 + 3
5x = 10
x = 10 : 5
x = 2