Interseções entre uma reta e uma parábola

Uma reta é um conjunto de pontos representado geometricamente por uma linha infinita que não faz curva. Uma parábola é um conjunto de pontos cuja distância entre eles e um ponto fixo chamado foco é igual à distância entre esses pontos e uma reta também fixa.

Uma reta pode não ter pontos em comum com a parábola, assim como pode ter um ou, no máximo, dois pontos em comum com ela. Para encontrar esses pontos, os procedimentos são parecidos aos do ponto de interseção entre duas retas, com alguns detalhes e cálculos a mais.

Coordenadas do ponto de interseção

Suponha que a reta ax + by + c = 0 encontre a parábola dx² + ex + f = y no ponto P. Esse ponto pode não ser único, uma vez que a reta pode ter até dois pontos de interseção com a parábola. No ponto P, os valore de x e y são os mesmos tanto para a reta quanto para a parábola e essa é justamente a hipótese necessária para que as suas equações sejam compreendidas como um sistema.

Portanto, para encontrar os pontos de encontro entre uma reta e uma parábola, será necessário resolver um sistema que possui uma equação do segundo grau.

Exemplo: Quais os pontos de encontro entre a reta x + y – 2 = 0 e a parábola y – x² = 0?

Para solucionar esse problema, construa um sistema com essas duas equações:

Resolveremos esse sistema pelo método da substituição. Assim, na segunda equação, encontre o valor algébrico de y:

x + y – 2 = 0

y = 2 – x

Na primeira equação, substitua o valor algébrico encontrado para y:

y – x² = 0

(2 – x) – x² = 0

2 – x – x² = 0

Agora, resolva a equação do segundo grau resultante.

a = – 1, b = – 1 e c = 2

x = – b ± √(b² – 4·a·c)
        2a

x = – (– 1) ± √((– 1)² – 4·(– 1)·2)
        2·(– 1)

x = 1 ± √(1 + 8)
              – 2         

x = 1 ± √9
    – 2

x = 1 ± 3
       – 2 

x’ = 1 + 3 = 4 = – 2
  – 2    – 2  

x” = 1 – 3 = – 2 = 1
  – 2      – 2

Ainda falta descobrir os valores de y do sistema. Para isso, escolha uma das equações e substitua os dois valores numéricos encontrados para x.

x + y – 2 = 0

y = 2 – x

y’ = 2 – (– 2) = 4

y” = 2 – 1 = 1

Assim, as coordenadas dos pontos de encontro entre essa reta e essa parábola são:

A (x’, y’)

B (x”, y”)

Com a resolução do sistema, essas coordenadas são:

A (– 2, 4)

B (1, 1)

A imagem a seguir mostra os gráficos da reta e da parábola desse exemplo e os pontos de encontro entre elas.

Propriedades

Após a primeira substituição, sempre encontraremos uma equação do segundo grau para ser resolvida. A partir do discriminante dessa equação, podemos analisar o número de pontos de encontro entre a parábola e a reta:

Se ∆ > 0, existem dois pontos de encontro entre parábola e reta.

Se ∆ = 0, existe um ponto de encontro entre parábola e reta.

Se ∆ < 0, Não existem pontos de encontro entre parábola e reta.