Propriedades operatórias dos logaritmos

Os logaritmos foram criados no intuito de facilitar os cálculos envolvendo números muito grandes ou muito pequenos. Essa operação matemática reduz esses números a algumas bases, e a mais utilizada é a base decimal. As propriedades operatórias dos logaritmos possuem o objetivo de transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões. Essas transformações facilitam os cálculos mais extensos.
Logaritmo de um produto

Considerando a, b e c como números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

log_a(b·c) = log_ab + log_ac

1º Exemplo

Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine o log12.

log12 → log12 = log(2·2·3) → log12 = log2 + log2 + log3 → log12 = 0,301 + 0,301 + 0,477 → log 12 = 1,079

2º Exemplo

Determine o valor de log₂(8·32).

log₂(8·32) = log₂8 + log₂32 = 3 + 5 = 8

Logaritmo de um quociente

Considerando a, b e c números como reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

log_a(b/c) = log_ab – log_ac

3º Exemplo

Sabendo que log30 = 1,477 e log5 = 0,699, determine log6.

log6 = (30/5) = log30 – log5 = 1,477 – 0,699 = 0,778

4º Exemplo

log₃(6561/81) = log₃6561 – log₃81 = 8 – 4 = 4

Logaritmo de uma potência

Considerando a e b como números reais positivos, com a ≠ 1, e m um número real, temos a seguinte propriedade:

log_abm = m·log_ab

5º Exemplo

Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64.

log 64 = log 2⁶ = 6·log 2 = 6·0,3010 = 1,806

6º Exemplo

Dado log 2^x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.

log 2^x = 2,4 → x·log 2 = 2,4 → x·0,3 = 2,4 → x = 2,4/0,3 → x = 8

Mudança de base

Para passar log_ab, com a e b positivos e a ≠ 1, para a base c, com c > 0 e c ≠ 1, utilizamos a seguinte expressão:

log_ab = log_cb/log_ca, com log_ca ≠ 0

7º Exemplo

Passando log₄9 para a base 2.

log₄9 = log₂9 / log₂4 = log₂9 / 2

8º Exemplo

Sabendo que log 4 = 0,60 e log 5 = 0,70, calcule log₅4.

log₅4 = log4 / log5 = 0,60 / 0,70 → log₅4 = 0,86