Movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples (MHS) é aquele em que um corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio devido à ação de uma força restauradora, cuja natureza pode ser elástica, gravitacional, elétrica, entre outras. No MHS, não há forças dissipativas, como as forças de atrito e arraste, e, por isso, a energia mecânica total do sistema é conservada.

Em razão de sua simplicidade, o movimento harmônico simples é um modelo físico que pode ser utilizado para investigar diversos sistemas mais complexos onde há forças restauradoras, como nas interações elétricas dos átomos e nas atrações gravitacionais entre planetas.

Veja também: Movimento acelerado e retardado

Resumo sobre o MHS

O MHS é resultado da ação de uma força que tende a manter alguma partícula, ou sistema de partículas, em uma posição de equilíbrio, tal como acontece com uma mola quando esticada ou comprimida, que fica sujeita à ação de uma força elástica. Nesse tipo de movimento, a soma da energia cinética com a energia potencial é sempre constante, por isso dizemos que há conservação da energia mecânica.

Chamamos de frequência o número de oscilações realizadas por um sistema em MHS que são concluídas a cada segundo. O período, por sua vez, é calculado como o inverso da frequência e é igual ao tempo gasto para que o sistema em MHS complete uma oscilação. As unidades de medida da frequência e do período do MHS são, respectivamente, o hertz (Hz) e o segundo (s). As fórmulas usadas para calcular essas grandezas são as seguintes:

f – frequência (Hz)

T – período (s)

n – número de oscilações

Δt – intervalo de tempo (s)

Além das grandezas frequência e período, o MHS é definido a partir de grandezas angulares. Tais grandezas permitem-nos saber em qual posição uma partícula em MHS encontra-se, bem como precisar quais são suas medidas de energia cinética e potencial naquele instante. A mais importante das grandezas angulares relacionadas ao MHS é a frequência angular, também conhecida como velocidade angular ou pulsação.

ω – frequência angular (rad/s)

A frequência angular tem a dimensão de rad/s. Os radianos são uma das diferentes formas de se definir os ângulos no círculo trigonométrico. Sabe-se que uma volta completa ao longo do círculo trigonométrico corresponde a 360º, que, por sua vez, correspondem a 2π radianos.

No caso do MHS, o círculo trigonométrico serve como uma referência para uma oscilação completa. Por exemplo, ao comprimir uma mola e soltá-la, temos uma oscilação completa quando ela tiver voltado à posição inicial – nesse caso dizemos que ela percorreu um deslocamento angular igual a 2π radianos.

A frequência angular também pode ser calculada em função de outros parâmetros, de acordo com o tipo de oscilador harmônico. Dentre todos os possíveis tipos de osciladores, os que mais se destacam por sua importância são o pêndulo simples e o oscilador massa-mola. As fórmulas utilizadas para calcular a frequência angular nesses casos de movimento harmônico simples são mostradas a seguir.

Veja também: Pêndulo simples – tudo sobre esse sistema mecânico!

Fórmulas do movimento harmônico simples

As fórmulas mais importantes do movimento harmônico simples são as equações horárias da posição, velocidade e aceleração. Essas equações nos permitem determinar a posição, a velocidade ou a aceleração de um móvel em MHS em determinado instante de tempo.

Nas fórmulas acima, a amplitude (A) equivale à máxima distância que uma partícula pode chegar em relação à sua posição de equilíbrio. A variável t refere-se ao instante de tempo, e Φ₀ é chamado de fase inicial e está relacionado com a posição em que o sistema iniciou o movimento.

Além das fórmulas já citadas, há também as fórmulas que são usadas para calcular o período de oscilação e a frequência do pêndulo simples e também do oscilador massa-mola, sendo elas:

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Exercícios resolvidos sobre movimento harmônico simples

Questão 1 - Calcule a frequência angular de uma partícula que desenvolve um movimento harmônico simples sabendo que o período desse movimento equivale a 0,5 s.

a) π/2 rad/s

b) π rad/s

c) 4π rad/s

d) 3π/2 rad/s

Gabarito: letra C.

Resolução:

Para resolver o exercício e calcular a frequência angular da partícula, precisamos usar a fórmula que relaciona essa grandeza com o período do movimento.

De acordo com o cálculo feito, a frequência angular do movimento é igual a 4π rad/s.

Questão 2 - Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de amplitude igual a 4 cm. Sabendo que a fase inicial do movimento é igual a 0 e que sua frequência angular é igual a π rad/s, determine a posição dessa partícula no instante t = 0,5 s.

a) 2 cm

b) 5 cm

c) 0 cm

d) 4 cm

Gabarito: letra C.

Resolução:

Para descobrirmos a posição do móvel, é necessário usar a equação horária da posição no MHS; fazendo isso, devemos resolver o seguinte cálculo:

Uma vez que o cosseno de π/2 rad é igual a 0, o resultado obtido é igual a 0.

Questão 3 - Determine a velocidade máxima de um móvel que descreve um movimento harmônico simples de amplitude igual a 5 m sabendo que sua velocidade angular é igual a 2π rad/s.

a) 2π m/s

b) 10π m/s

c) π m/s

d) π/4 m/s

Gabarito: letra B.

Resolução:

A fórmula que relaciona a velocidade da partícula que desenvolve um movimento harmônico simples é mostrada abaixo. Ressalta-se que, para se obter a máxima velocidade nesse tipo de movimento, o seno, do qual a função da velocidade depende, deve ter seu valor igual a -1; dessa maneira, basta fazer a multiplicação a seguir.