Leis de Kirchhoff

As leis de Kirchhoff são um par de leis da Física, espeficicamente da eletrodinâmica, desenvolvidas em 1845 pelo físico Gustav Kirchhoff (1824-1887). São a lei dos nós e a lei das malhas. Essas leis permitem calcularmos a intensidade das correntes elétricas, tensões elétricas e até das resistências elétricas nos circuitos elétricos simples ou complexos. 

Leia também: Eletrodinâmica — ramo da Física que estuda o movimento das cargas elétricas

Resumo sobre leis de Kirchhoff

• As leis de Kirchhoff são leis da Física que possibilitam o cálculo da corrente elétrica e da tensão elétrica nos circuitos elétricos.
• São também chamadas de a lei dos nós e a lei das malhas.
• O circuito elétrico é composto por nós, ramos e malhas.
• A lei dos nós informa que a soma de todas as correntes elétricas que vão para um nó é igual à soma de todas as correntes elétricas que saem desse mesmo nó.
• A lei das malhas informa que a soma de todas as tensões elétricas em uma malha é zero.
• Para aplicar as leis de Kirchhoff, é necessário:
  • observar quais elementos estão presentes no circuito elétrico;
  • identificar os nós, a quantidade de correntes elétricas e a quantidade de malhas no circuito elétrico;
  • escolher o sentido da corrente elétrica e da circulação da malha;
  • criar e resolver a expressão algébrica.

O que são nós, ramos e malhas?

Os nós, ramos e malhas são alguns componentes do circuito elétrico. A seguir, você saberá mais detalhes sobre esses componentes.

→ Nós

Os nós são os pontos de encontro de três ou mais componentes do circuito elétrico, em que a corrente elétrica se divide. Na imagem abaixo, temos a representação de dois nós.

→ Ramos

Os ramos são os trechos em um circuito elétrico percorridos pela mesma corrente elétrica. Na imagem abaixo, temos a representação de quatro ramos: vermelho, azul, verde e amarelo.

→ Malhas

As malhas são os caminhos fechados no circuito elétrico que se iniciam em um nó e retornam para ao mesmo nó. Na imagem abaixo, temos a representação de três malhas, a malha amarela corresponde ao caminho fechado à direita; a malha roxa corresponde ao caminho fechado à esquerda; e a malha verde corresponde a todo o circuito elétrico.

Quais são as leis de Kirchhoff?

Existem duas leis de Kirchhoff, a primeira nomeada de lei dos nós e a segunda, de lei das malhas.

→ Primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós)

A primeira lei de Kirchhoff, também chamada de lei dos nós ou lei das correntes, afirma que o somatório de todas as correntes elétricas que se dirigem a um nó é igual ao somatório de todas as correntes elétricas que partem desse mesmo nó. Isso está descrito na imagem abaixo:

→ Segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas)

A segunda lei de Kirchhoff, também chamada de lei das malhas ou lei das tensões, afirma que o somatório das tensões elétricas (ou diferença de potencial elétrico, ddp) é sempre zero ao longo de uma malha.

Importante: Vale lembrar que a tensão elétrica nos resistores associados em série é diferente para cada um deles, enquanto a corrente elétrica é igual para todos. Já a tensão elétrica nos resistores associados em paralelo é a mesma, enquanto a corrente elétrica é diferente para cada um deles. Para calcular a resistência elétrica, tensão elétrica ou corrente elétrica, usamos a primeira lei de Ohm, dada pela fórmula:

\(U=R\cdot i\)

• U  → diferença de potencial (ddp), medida em Volts [V ].
• R  → resistência elétrica, medida em Ohm [Ω ].
• i  → corrente elétrica, medida em Ampére [A ].

Veja também: Primeira lei de Ohm — lei que determina a proporcionalidade entre a tensão elétrica e a corrente elétrica

Como aplicar as leis de Kirchhoff?

Podemos aplicar as leis de Kirchhoff em um circuito elétrico com base nos passos abaixo:

• 1º passo: analisar os elementos presentes no circuito elétrico para saber qual sinal algébrico adotaremos durante o seu cálculo:
  • Resistores: adotamos o sinal algébrico positivo quando o sentido da corrente elétrica está no mesmo sentido da malha, e adotamos o sinal algébrico negativo quando o sentido da corrente elétrica é diferente do sentido da malha.
  • Receptores elétricos: adotamos o sinal algébrico positivo já que a corrente elétrica flui do terminal positivo (barra maior) para o terminal negativo (barra menor).
  • Geradores elétricos: adotamos o sinal algébrico negativo já que a corrente elétrica flui do terminal negativo (barra menor) para o terminal positivo (barra maior).
  • Ampérimetro: desconsiderá-lo.
• 2º passo: identificar quais são os nós para saber a quantidade de correntes elétricas no circuito elétrico.
• 3º passo: escolher o sentido da corrente elétrica. Convencionalmente, o sentido da corrente elétrica é horário, mas isso não vale para todos os exercícios, então, para sabermos se o sentido que escolhemos está correto, é só observar se a corrente elétrica obtida tem sinal algébrico positivo.
• 4º passo: identificar a quantidade de malhas para saber quantas expressões algébricas teremos que resolver. Nos casos em que temos três malhas e um ramo sem resistor, será necessário o uso de apenas duas expressões algébricas.
• 5º passo: escolher o sentido da circulação da malha para a realização da expressão algébrica. É recomendável escolher o mesmo sentido da corrente elétrica para não se confundir durante o cálculo.
• 6º passo: criar a expressão algébrica de acordo com o que se pede no enunciado da questão, seguindo o sentido escolhido da circulação da malha e analisando o sentido da corrente elétrica para cada malha. É necessário tomar cuidado quando estiver analisando os resistores já que, na expressão algébrica, eles são representados pelo produto entre o valor da sua resistência elétrica e a corrente elétrica que os percorre.
• 7º passo: resolver a expressão algébrica utilizando seus conhecimentos matemáticos de sistemas de equações, caso necessário.
• 8º passo: caso necessário, calcular o somatório das tensões elétricas, para verificar se resultou em zero, ou a potência dissipada no resistor por meio da fórmula:

\(P=R\cdot i^2\)

• P → potência dissipada pelo resistor, medida em Watt [W].
• R → resistência elétrica, medida em Ohm [Ω].
• i → corrente elétrica, medida em Ampére [A].

→ Exemplo de aplicação das leis de Kirchhoff

Calcule a intensidade das correntes elétricas que atravessam o circuito elétrico disposto abaixo.

• 1º passo: nesse circuito elétrico, temos resistores, geradores e receptores elétricos.
• 2º passo: além disso, temos dois nós e três correntes elétricas, conforme demonstrado na imagem abaixo:

• 3º passo: o sentido da corrente elétrica escolhido na malha 1 será o anti-horário, e na malha 2 será o anti-horário, conforme demonstrado na imagem abaixo:

• 4º passo: nesse circuito elétrico, temos uma malha maior composta de duas malhas menores, nesse caso, teremos três expressões algébricas, conforme demonstrado na imagem abaixo:

• 5º passo: o sentido da circulação da malha escolhido será o mesmo da corrente elétrica; na malha 1, será o anti-horário; e na malha 2, será o anti-horário, conforme demonstrado na imagem abaixo:

• 6º passo: criar as expressões algébricas.

Com base na lei de nós, temos que:

\(i_1+i_3=i_2\)

Na malha 1, iniciando a partir da tensão elétrica de 50 V, temos:

\(+120+20i_2+30i_3-10+15i_2+60i_2=0\)

\(+85+35i_1-30i_3=0\)

Na malha 2, iniciando a partir da tensão elétrica de 120 V, temos:

\(+120+20i_2+30i_3-10+15i_2+60i_2=0\)

\(+110+95i_2+30i_3=0\)

Então as três expressões algébricas são:

\(\begin{cases} i_1+i_3=i_2 \\ +85+35i_1-30i_3=0\\ +110+95i_2+30i_3=0 \end{cases}\)

• 7º passo: resolver a expressão algébrica.

\(\begin{cases} i_1+i_3=i_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ -85+35i_1-30i_3=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ -110+95i_2+30i_3=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{cases}\)

Substituiremos a equação (1) na equação (3), resultando em:

\(\begin{cases} \ \ \ \ -85+35i_1-30i_3=0\\ -110+95(i_1+i_3)+30i_3=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \ \ \ \ -85+35i_1-30i_3=0\\ -110+95i_1+95i_3+30i_3=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -85+35i_1-30i_3=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\\ -110+95i_1+125i_3=0\ \ \ \ \ (3.1) \end{cases}\)

Isolando o i1  na equação (2.1):

\(i_1=\frac{85+30i_3}{35}\)

Divindo tudo por 5:

\(i_1=\frac{17+6i_3}{7}\)

Substituindo o resultanto anterior na equação (3.1), encontramos o valor da corrente elétrica \(i_3\):

\(-110+95\left(\frac{17+6i_3}{7}\right)+125i_3=0\)

\(-110+\left(\frac{1615+570i_3}{7}\right)+125i_3=0\)

\(-770+1615+570i_3+875i_3=0\)

\(845+1445i_3=0\)

\(1445i_3=-845\)

\(i_3=\frac{-845\ \ \ \ \ }{1445}\)

\(i_3\cong-0,58\ A\)

Substituindo na equação em que isolamos o i1 , encontramos o valor da corrente elétrica \(i_1\):

\(i_1=\frac{85+30i_3}{35}\)

\(i_1=\frac{85+30\ (-0,58)}{35}\)

\(i_1\cong1,93\ A\)

Substituindo na equação (1), encontramos o valor da corrente elétrica \(i_2\):

\(i_1+i_3=i_2\)

\(1,93\ +0,58=i_2\)

\(2,51\ A=i_2\)

Portanto, as correntes elétricas 1, 2 e 3 têm intensidade aproximada de 1,93 A; 2,51 A e 0,58 A respectivamente.

Exercícios resolvidos sobre leis de Kirchhoff

Questão 1

(UEL) Pelo circuito elétrico esquematizado flui uma corrente elétrica:

A diferença de potencial, em volts, nos terminais do resistor de 2,0 Ω  e a potência nele dissipada, em watts, são, respectivamente:

A) 1,0 e 0,50

B) 1,0 e 2,0

C) 2,0 e 2,0

D) 2,0 e 4,0

E) 4,0 e 8,0

Resolução:

Alternativa A

Nesse circuito elétrico, temos uma malha composta de resitores, geradores elétricos e receptores elétricos percorridos por uma única corrente elétrica, portanto, não será necessário utilizarmos a lei dos nós.

Para escrevermos a expressão algébrica, adotaremos o sentido da corrente elétrica e da malha como horário, então, iniciando do resistor de 4 Ω , obtemos:

\(+4i-7,5+2i+4i+2,5=0\)

\(+10i-5=0\)

\(10i=5\)

\(i=\frac{5}{10}\)

\(i=0,5\ A\)

Depois, calcularemos a diferença de potencial elétrico no resitor de 2,0 Ω  por meio da primeira lei de Ohm:

\(U=R\cdot i\)

\(U=2\cdot0,5\)

\(U=1\ V\)

Por fim, calcularemos a potência elétrica dissipada nesse resistor por meio da sua fórmula:

\(P=R\cdot i^2\)

\(P=2\cdot{0,5}^2\)

\(P=0,5\ W\)

Questão 2

(Udesc) De acordo com a figura, os valores das correntes elétricas i1, i2 e i3 são, respectivamente, iguais a:

A) 2,0 A, 3,0 A, 5,0 A

B) -2,0 A, 3,0 A, 5,0 A

C) 3,0 A, 2,0 A, 5,0 A

D) 5,0 A, 3,0 A, 8,0 A

E) 2,0 A, -3,0 A, -5,0 A

Resolução:

Alternativa A

Nesse circuito elétrico, temos duas malhas, compostas de resitores, geradores elétricos e receptores elétricos percorridos por três correntes elétricas, as quais já nos forneceram seus sentidos.

Para escrevermos a expressão algébrica, adotaremos o sentido da malha 1 como anti-horário e o sentido da malha 2 como horário, seguindo o sentido da corrente elétrica. Então, na malha 1, à esquerda, temos:

\(+\ 5i_1-6-4=0\)

\(+\ 5i_1-10=0\)

\(\ 5i_1=10\)

\(i_1=\frac{10}{5}\)

\(i_1=2\ A\)

Já na malha 2, à direita, temos:

\(+\ 4i_2-8-4=0\)

\(+\ 4i_2-12=0\)

\(4i_2=12\)

\(i_2=\frac{12}{4}\)

\(i_2=3\ A\)

De acordo com a primeira lei de Kirchhoff, o somatório de todas as correntes elétricas que se dirigem a um nó é igual ao somatório de todas as correntes elétricas que partem desse mesmo nó, então:

\(i_3=i_1+i_2\)

\(i_3=2+3\)

\(i_3=5\ A\)

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Eletromagnetismo (vol. 3). 10. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). Editora Blucher, 2015.

SAMPAIO, José Luiz; CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física: Ondulatória - Eletromagnetismo, Física Moderna. São Paulo: Atual, 2005.