Equação irracional

Equação irracional é a que possui incógnita dentro de um radical, ou seja, a incógnita é o radicando. A equação irracional pode ter qualquer índice na raiz, como a raiz cúbica, raiz quarta e assim sucessivamente, mas a mais comum é a raiz quadrada. Resolver uma equação irracional é encontrar o valor que a incógnita deve assumir para que a equação seja verdadeira.
Para encontrar as soluções de uma equação irracional, isolamos o radical e utilizamos potenciação para que seja possível eliminar a raiz e, assim, transformar a inequação que era irracional em racional, já que conhecemos as técnicas para resolução. Por exemplo, quando ela se torna uma equação do 1º grau, é possível isolar o x e encontrar a solução, e, em outros casos de equações racionais, utilizamos o método conveniente para resolver a equação que aparece após eliminarmos a radiciação.
Leia também: O que é equação exponencial?
Resumo sobre equação irracional
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É a que possui uma incógnita dentro da raiz.
-
Pode ter qualquer índice, ser uma raiz quadrada, uma raiz cúbica, enfim, uma raiz com qualquer índice possível.
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Para resolvê-la, isolamos a raiz e calculamos a sua potência, de modo que ela se torne uma equação sem radical.
Videoaula sobre equações irracionais

O que é equação irracional?
É conhecida como irracional a equação que possui incógnitas dentro de um radical. Essa raiz pode ser de qualquer índice, como uma raiz quadrada, uma raiz cúbica, uma raiz quarta, entre outras. A equação irracional mais comum é a que possui índice dois, ou seja, a raiz quadrada.
→ Exemplos de equação irracional
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√x2+2x=35
-
3√2x−8=125
-
9x−4=√3x+2
-
3 = 4√2x−3
Como resolver as equações irracionais?
Para encontrar as soluções de uma equação irracional, é necessário isolar a radiciação e elevar a potência que seja igual ao índice que está no radicando, eliminando a raiz e tornando a equação racional, posteriormente, esta será resolvida.
Exemplo 1:
√2x−3+1=6
Resolução:
Primeiro isolaremos a raiz quadrada:
√2x−3=6−1
√2x−3=5
Agora elevaremos ao quadrado dos dois lados, para eliminar a raiz quadrada:
(√2x−3)2=52
2x−3=25
Note que agora temos uma equação racional que é uma equação do 1º grau, utilizando as técnicas de resolução de equações desse tipo, isolaremos a incógnita:
2x=25+3
2x=28
x=282
x=14
Como existe restrição para os valores que estão dentro de uma raiz quadrada, é importante, ao final, verificar se o valor encontrado é de fato solução da equação irracional:
√2x−3+1=6
√2∙14−3+1=6
√28−3+1=6
√25+1=6
5+1=6
6=6
Então x = 14 é a solução da equação.
Exemplo 2:
Encontre as soluções da equação irracional:
√x2+24=x−4
Resolução:
Elevando ao quadrado dos dois lados:
(√x2+24)2=(x+4)2
x2+24=x2+8x+16
x2−x2− 8x=16−24
−8x=−8
x=−8−8
x=1
Agora verificando se x = 1 é solução:
√x2+24=x−4
√12+24=1−4
√1+24=−3
√25=−3
5=−3
Note que nós encontramos uma inverdade, então x = 1 não é solução dessa equação. Nesse caso, temos uma equação irracional que não possui tem real.
Exemplo 3:
Encontre as possíveis soluções da equação:
3√x2+3x−1+5=8
Resolução:
Primeiro isolaremos a raiz cúbica no primeiro membro da equação:
3√x2+3x−1=8−5
3√x2+3x−1=3
Agora elevando ao cubo dos dois lados:
(3√x2+3x−1)3=33
x2+3x−1=27
Agora encontramos uma equação racional. Note que essa é uma equação do 2º grau, então utilizaremos técnicas de resolução para encontrar o conjunto de soluções desse tipo de equação, como a fórmula de Bháskara:
x2+3x−1−27=0
x2+3x−28=0
Logo:
-
a = 1
-
b = 3
-
c = −28
Δ=b2−4ac
Δ=32−4⋅1⋅(−28)
Δ=9+112
Δ=121
x=−b±√Δ2a
x=−3±√1212⋅1
x=−3±112
x1=−3+112=82=4
x2=−3−112=− 142=−7
Verificando as soluções:
3√x2+3x−1+ 5=7
Verificando se x = 4:
3√42+3∙4−1+5=8
3√16+12−1+5=8
3√27+5=8
3+5=8
8=8
Logo:
x = 4 é solução
Agora verificando se x = −7 é solução:
3√(−7)2+3∙(−7)−1+5=8
3√49−21−1+5=8
3√27+5=8
3+5=8
8=8
Então as soluções dessa equação irracional são
x=4 ou x=−7
Veja também: Quais são as equações incompletas do segundo grau?
Exercícios resolvidos sobre equação irracional
Questão 1
Analise as equações a seguir:
I. √3+x=2
II. √3−2=x2+1
III. 6–x=x+4
A equação que pode ser classificada como irracional é:
A) somente a equação I
B) somente a equação II
C) somente a equação III
D) nenhuma das equações
Resolução:
Alternativa C
Para que uma equação seja irracional, é necessário que ela tenha uma incógnita dentro do radical, fato esse que acontece somente na equação III.
Questão 2
(Consesp) Resolva a equação irracional no conjunto dos números reais.
√2x−3−√x+11=0
A) V = {12}
B) V = {14}
C) V = {11}
D) V = {9}
E) V = {16}
Resolução:
Alternativa B
Primeiro vamos passar o segundo radical para o segundo membro:
√2x−3−√x+11=0
√2x−3=√x+11
Elevando ao quadrado dos dois lados:
(√2x−3)2=(√x+11)2
2x−3=x+11
2x−x=11+3
x=14
Então como solução temos que V = {14}.
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