Equação irracional

Equação irracional é a que possui incógnita dentro de um radical, ou seja, a incógnita é o radicando. A equação irracional pode ter qualquer índice na raiz, como a raiz cúbica, raiz quarta e assim sucessivamente, mas a mais comum é a raiz quadrada. Resolver uma equação irracional é encontrar o valor que a incógnita deve assumir para que a equação seja verdadeira.

Para encontrar as soluções de uma equação irracional, isolamos o radical e utilizamos potenciação para que seja possível eliminar a raiz e, assim, transformar a inequação que era irracional em racional, já que conhecemos as técnicas para resolução. Por exemplo, quando ela se torna uma equação do 1º grau, é possível isolar o x e encontrar a solução, e, em outros casos de equações racionais, utilizamos o método conveniente para resolver a equação que aparece após eliminarmos a radiciação.

Leia também: O que é equação exponencial?

Resumo sobre equação irracional

• É a que possui uma incógnita dentro da raiz.

• Pode ter qualquer índice, ser uma raiz quadrada, uma raiz cúbica, enfim, uma raiz com qualquer índice possível.

• Para resolvê-la, isolamos a raiz e calculamos a sua potência, de modo que ela se torne uma equação sem radical.

Videoaula sobre equações irracionais

O que é equação irracional?

É conhecida como irracional a equação que possui incógnitas dentro de um radical. Essa raiz pode ser de qualquer índice, como uma raiz quadrada, uma raiz cúbica, uma raiz quarta, entre outras. A equação irracional mais comum é a que possui índice dois, ou seja, a raiz quadrada.

→ Exemplos de equação irracional

• \( \sqrt{x^2+2x}=35\)

• \( \sqrt[3]{2x-8}=125\)

• \( 9x-4=\sqrt{3x}+2\)

• 3 = \(\sqrt[4]{2x-3}\)

Como resolver as equações irracionais?

Para encontrar as soluções de uma equação irracional, é necessário isolar a radiciação e elevar a potência que seja igual ao índice que está no radicando, eliminando a raiz e tornando a equação racional, posteriormente, esta será resolvida.

Exemplo 1:

\(\sqrt{2x-3}+1=6\)

Resolução:

Primeiro isolaremos a raiz quadrada:

\(\sqrt{2x-3}=6-1\)

\(\sqrt{2x-3}=5\)

Agora elevaremos ao quadrado dos dois lados, para eliminar a raiz quadrada:

\(\left(\sqrt{2x-3}\right)^2=5^2\)

\(2x-3=25\ \)

Note que agora temos uma equação racional que é uma equação do 1º grau, utilizando as técnicas de resolução de equações desse tipo, isolaremos a incógnita:

\(2x=25+3\)

\(2x=28\)

\(x=\frac{28}{2}\)

\(x=14\ \)

Como existe restrição para os valores que estão dentro de uma raiz quadrada, é importante, ao final, verificar se o valor encontrado é de fato solução da equação irracional:

\(\sqrt{2x-3}+1=6\)

\(\sqrt{2\bullet14-3}+1=6\)

\(\sqrt{28-3}+1=6\)

\(\sqrt{25}+1=6\)

\(5+1=6\)

\(6=6\)

Então x = 14 é a solução da equação.

Exemplo 2:

Encontre as soluções da equação irracional:

\(\sqrt{x^2+24}=x-4\)

Resolução:

Elevando ao quadrado dos dois lados:

\(\left(\sqrt{x^2+24}\right)^2=\left(x+4\right)^2\)

\(x^2+24=x^2+8x+16\)

\(x^2-x^2-\ 8x=16-24\ \)

\(-8x=-8\)

\(x=\frac{-8}{-8}\)

\(x=1\ \)

Agora verificando se x = 1 é solução:

\(\sqrt{x^2+24}=x-4\)

\(\sqrt{1^2+24}=1-4\)

\(\sqrt{1+24}=-3\)

\(\sqrt{25}=-3\)

\(5=-3\ \)

Note que nós encontramos uma inverdade, então x = 1 não é solução dessa equação. Nesse caso, temos uma equação irracional que não possui tem real.

Exemplo 3:

Encontre as possíveis soluções da equação:

\(\sqrt[3]{x^2+3x-1}+5=8\)

Resolução:

Primeiro isolaremos a raiz cúbica no primeiro membro da equação:

\(\sqrt[3]{x^2+3x-1}=8-5\)

\(\sqrt[3]{x^2+3x-1}=3\)

Agora elevando ao cubo dos dois lados:

\(\left(\sqrt[3]{x^2+3x-1}\right)^3=3^3\)

\(x^2+3x-1=27\)

Agora encontramos uma equação racional. Note que essa é uma equação do 2º grau, então utilizaremos técnicas de resolução para encontrar o conjunto de soluções desse tipo de equação, como a fórmula de Bháskara:

\(x^2+3x-1-27=0\)

\(x^2+3x-28=0\)

Logo:

• a = 1

• b = 3

• c = \(-28\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot\left(-28\right)\)

\(\Delta=9+112\)

\(\Delta=121\)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

\(x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}\)

\(x=\frac{-3\pm11}{2}\)

\(x_1=\frac{-3+11}{2}=\frac{8}{2}=4\)

\(x_2=\frac{-3-11}{2}=-\ \frac{14}{2}=-7\)

Verificando as soluções:

\(\sqrt[3]{x^2+3x-1}+\ 5=7\)

Verificando se x = 4:

\(\sqrt[3]{4^2+3\bullet4-1}+5=8\)

\(\sqrt[3]{16+12-1}+5=8\)

\(\sqrt[3]{27}+5=8\)

\(3+5=8\)

\(8=8\)

Logo:

x = 4 é solução

Agora verificando se x = \(-7\) é solução:

\(\sqrt[3]{{(-7)}^2+3\bullet(-7)-1}+5=8\)

\(\sqrt[3]{49-21-1}+5=8\)

\(\sqrt[3]{27}+5=8\)

\(3+5=8\ \)

\(8=8\ \)

Então as soluções dessa equação irracional são

\(x=4\ ou\ x=-7\)

Veja também: Quais são as equações incompletas do segundo grau?

Exercícios resolvidos sobre equação irracional

Questão 1

Analise as equações a seguir:

I.  \(\sqrt3+x=2\)

II. \(\sqrt{3-2}=x^2+1\)

III. \(6–x=x+4\)

A equação que pode ser classificada como irracional é:

A) somente a equação I

B) somente a equação II

C) somente a equação III

D) nenhuma das equações

Resolução:

Alternativa C

Para que uma equação seja irracional, é necessário que ela tenha uma incógnita dentro do radical, fato esse que acontece somente na equação III.

Questão 2

(Consesp) Resolva a equação irracional no conjunto dos números reais.

\(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x+11}=0\)

A) V = {12}

B) V = {14}

C) V = {11}

D) V = {9}

E) V = {16}

Resolução:

Alternativa B

Primeiro vamos passar o segundo radical para o segundo membro:

\(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x+11}=0\)

\(\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+11}\)

Elevando ao quadrado dos dois lados:

\(\left(\sqrt{2x-3}\right)^2=\left(\sqrt{x+11}\right)^2\)

\(2x-3=x+11\)

\(2x-x=11+3\)

\(x=14\ \)

Então como solução temos que V = {14}.