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Função modular

Função modular é aquela função, com domínio e contradomínio nos números reais, que possui pelo menos uma variável dentro do módulo em sua lei de formação.
Gráfico de uma função modular.
Gráfico de uma função modular.

Conhecemos como função modular uma função cuja lei de formação possui uma variável dentro do módulo. O módulo de um número n é representado por |n|, e sabemos que |n| tem como resultado sempre um número positivo. A função modular pode ter diferentes leis de formação, podendo ter dentro do módulo uma equação do 1º grau, 2º grau, entre outros tipos de equações.

Para encontrar o valor numérico de uma função modular, substituímos o valor da variável e, ao final, aplicamos a propriedade do módulo. Podemos também representar o gráfico de uma função modular.

Leia também: Quais as diferenças entre função e equação?

Resumo sobre função modular

  • Uma função é considerada modular quando em sua lei de formação existir pelo menos uma variável dentro do módulo.

  • Para calcular o valor numérico de uma função modular, utilizamos a definição de módulo.

  • Uma função modular pode ter em seu módulo qualquer tipo de equação, sendo as mais comuns do 1º e 2º grau.

O que é uma função modular?

Conhecemos como função modular uma função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R, e que, em sua lei de formação, exista variável que esteja dentro do módulo.

Exemplos:

  • f(x) = |x|

  • g(x) = |x – 5|

  • h(x) = |-x² – 2x + 3|

Para trabalhar com funções modulares, é importante lembrar a definição de módulo e suas propriedades.

Representamos o módulo de um número n por |n|, e, por definição, temos que:

Definição de módulo.

O módulo de um número sempre gera resultados positivos, por exemplo:

|2| → como 2 > 0 → |2| = 2

|-2| → como -2 < 0 → |-2| = – (-2) = 2

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Propriedades da função modular

Vale lembrar que, em uma função modular, todas as propriedades do módulo são válidas.

Considere a e b como números reais:

  • 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto.

|a| = |-a|

  • 2ª propriedade: o módulo do quadrado de a é igual ao módulo de a ao quadrado.

|a²| = |a

  • 3ª propriedade: o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos.

|a · b| = |a| · |b|

  • 4ª propriedade: o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

  • 5ª propriedade: o módulo da diferença é maior ou igual à diferença dos módulos.

|a b| ≥ |a| – |b|

Veja também: Quais são as propriedades da função exponencial?

Valor numérico de uma função modular

Para calcular o valor numérico de uma função modular, basta substituir a variável x pelo valor desejado e resolver a expressão. Durante a resolução, é sempre necessário aplicar a definição do módulo.

Exemplo:

f(x) = |-x² – 5x + 1|

a) x = 2

f(2) = |-2² – 5 · 2 + 1|

f(2) = |-4 – 10 + 1|

f(2) = |-13|

f(2) = 13

b) x = -3

f(-3) = |– (-3)² – 5 (-3) + 1|

f(-3) = |-9 + 15 + 1|

f(-3) = |7|

f(-3) = 7

Gráfico de uma função modular

Para construir o gráfico da função modular, é importante perceber que a função possui comportamento diferente quando o que está dentro do módulo for positivo e quando for negativo.

Exemplo 1:

Começando pelo exemplo mais simples possível de função modular, construiremos o gráfico da função.

f(x) = |x|

Existem duas possibilidades para a função:

Possibilidades para a função f(x) = |x|.

Para construir o gráfico, escolheremos alguns valores numéricos para essa função:

x

f(x) = |x|

(x, y)

-2

f(-2) = |-2| = 2

A (-2, 2)

-1

f(-1) = |-1| = 1

B (-1, 1)

0

f(0) = |0| = 0

C (0, 0)

1

f(1) = |1| = 1

D (1, 1)

2

f(2) = |2| = 2

E (2, 2)

Agora faremos a representação desses pontos no gráfico.

Exemplo de um gráfico da função modular f(x) = |x|.

Exemplo 2:

f(x) = |x² – 6x + 8|

1º passo: encontrar os zeros da função.

Para que |x² – 6x + 8| = 0 → x² – 6x + 8 = 0

Calculando delta e bhaskara, temos que:

x² – 6x + 8 = 0

a = 1

b = -6

c = 8

Δ = b² – 4ac

Δ = (-6)² – 4 · 1 · 8

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Cálculo da fórmula de bhaskara para descobrir os zeros da função modular f(x) = |x² – 6x + 8|.

Então, temos os pontos A(4, 0) e B(2, 0).

2º passo: encontrar xv e yv.

O xv pode ser encontrado somando x’ e x’’ e dividindo por 2.

xv = (4 + 2) : 2

xv = 6 : 2

xv = 3

Para calcular o yv, basta substituir 3 na função:

f(x) = |x² – 6x + 8|

f(3) = |3² – 6 · 3 + 8|

f(3) = |9 – 18 + 8|

f(3) = |-1|

f(3) = 1

Então, o vértice V possui coordenadas V(3, 1).

3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Para isso, basta calcular f(0):

f(x) = |x² – 6x + 8|

f(0) = |0² – 6 · 0 + 8|

f(0) = |8|

f(0) = 8

Por fim, o ponto C(0, 8) pertence ao gráfico.

Marcando os pontos A, B, C e V no gráfico, temos o seguinte:

Gráfico da função f(x) = |x² – 6x + 8|.
Gráfico da função f(x) = |x² – 6x + 8|.

Leia também: 5 passos para construir um gráfico de uma função de 2º grau

Exercícios resolvidos sobre função modular

Questão 1 - (IBFC) Considere a função f(x) = |x² – 5|, cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa que indica qual o menor conjunto que pertencerá o contradomínio dessa função.

A) Números naturais

B) Números inteiros

C) Números racionais

D) Números reais

E) Números complexos

Resolução

Alternativa A

Como o domínio é o conjunto dos números naturais, então, x sempre será um número natural.

Um número natural ao quadrado (x²) também é um número natural. Quando calculamos a diferença desse x² com 5, e calculamos o módulo, ou seja |x² – 5|, o resultado também será um número natural, pois o módulo de um número é sempre positivo. Sendo assim, o menor conjunto possível para o contradomínio é o conjunto dos números naturais.

Questão 2 - Seja f(x) = |2x + 2|, existem dois valores a e b, tal que a ≠ b, mas f(a) = f(b) = 4. Então, o valor de f(a + b) é igual a:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

Resolução

Alternativa E

Dada a função f(x) = |2x + 2|, sabemos que f(a) = 4 e f(b) = 4, mas que a ≠ b.

Então, temos que:

f(x) = |2x + 2| = 4

Existem dois casos em que f(x) seja igual a 4. Aplicando a definição de módulo, temos que:

f(x) = 4 → 2x1 + 2 = 4 ou 2x2 + 2 = -4

Então, temos que:

Seja x1 = a:

2a + 2 = 4

2a = 4 – 2

2a = 2

a = 2 : 2

a = 1

Seja x2 = b:

2b + 2 = -4

2b = -4 – 2

2b = -6

b = -6 : 2

b = -3

Queremos o valor de f(a + b) = f(1 + (-3)) = f(-2):

f(x) = |2x + 2|

f(-2) = |2 · (-2) + 2|

f(-2) = |-4 + 2|

f(-2) = |-2|

f(-2) = 2

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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