Função modular

Conhecemos como função modular uma função cuja lei de formação possui uma variável dentro do módulo. O módulo de um número n é representado por |n|, e sabemos que |n| tem como resultado sempre um número positivo. A função modular pode ter diferentes leis de formação, podendo ter dentro do módulo uma equação do 1º grau, 2º grau, entre outros tipos de equações.

Para encontrar o valor numérico de uma função modular, substituímos o valor da variável e, ao final, aplicamos a propriedade do módulo. Podemos também representar o gráfico de uma função modular.

Leia também: Quais as diferenças entre função e equação?

Resumo sobre função modular

• Uma função é considerada modular quando em sua lei de formação existir pelo menos uma variável dentro do módulo.

• Para calcular o valor numérico de uma função modular, utilizamos a definição de módulo.

• Uma função modular pode ter em seu módulo qualquer tipo de equação, sendo as mais comuns do 1º e 2º grau.

O que é uma função modular?

Conhecemos como função modular uma função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R, e que, em sua lei de formação, exista variável que esteja dentro do módulo.

Exemplos:

• f(x) = |x|

• g(x) = |x – 5|

• h(x) = |-x² – 2x + 3|

Para trabalhar com funções modulares, é importante lembrar a definição de módulo e suas propriedades.

Representamos o módulo de um número n por |n|, e, por definição, temos que:

O módulo de um número sempre gera resultados positivos, por exemplo:

|2| → como 2 > 0 → |2| = 2

|-2| → como -2 < 0 → |-2| = – (-2) = 2

Propriedades da função modular

Vale lembrar que, em uma função modular, todas as propriedades do módulo são válidas.

Considere a e b como números reais:

• 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto.

|a| = |-a|

• 2ª propriedade: o módulo do quadrado de a é igual ao módulo de a ao quadrado.

|a²| = |a|²

• 3ª propriedade: o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos.

|a · b| = |a| · |b|

• 4ª propriedade: o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

• 5ª propriedade: o módulo da diferença é maior ou igual à diferença dos módulos.

|a – b| ≥ |a| – |b|

Veja também: Quais são as propriedades da função exponencial?

Valor numérico de uma função modular

Para calcular o valor numérico de uma função modular, basta substituir a variável x pelo valor desejado e resolver a expressão. Durante a resolução, é sempre necessário aplicar a definição do módulo.

Exemplo:

f(x) = |-x² – 5x + 1|

a) x = 2

f(2) = |-2² – 5 · 2 + 1|

f(2) = |-4 – 10 + 1|

f(2) = |-13|

f(2) = 13

b) x = -3

f(-3) = |– (-3)² – 5 (-3) + 1|

f(-3) = |-9 + 15 + 1|

f(-3) = |7|

f(-3) = 7

Gráfico de uma função modular

Para construir o gráfico da função modular, é importante perceber que a função possui comportamento diferente quando o que está dentro do módulo for positivo e quando for negativo.

Exemplo 1:

Começando pelo exemplo mais simples possível de função modular, construiremos o gráfico da função.

f(x) = |x|

Existem duas possibilidades para a função:

Para construir o gráfico, escolheremos alguns valores numéricos para essa função:

Agora faremos a representação desses pontos no gráfico.

Exemplo 2:

f(x) = |x² – 6x + 8|

1º passo: encontrar os zeros da função.

Para que |x² – 6x + 8| = 0 → x² – 6x + 8 = 0

Calculando delta e bhaskara, temos que:

x² – 6x + 8 = 0

a = 1

b = -6

c = 8

Δ = b² – 4ac

Δ = (-6)² – 4 · 1 · 8

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Então, temos os pontos A(4, 0) e B(2, 0).

2º passo: encontrar x_v e y_v.

O x_v pode ser encontrado somando x’ e x’’ e dividindo por 2.

x_v = (4 + 2) : 2

x_v = 6 : 2

x_v = 3

Para calcular o y_v, basta substituir 3 na função:

f(x) = |x² – 6x + 8|

f(3) = |3² – 6 · 3 + 8|

f(3) = |9 – 18 + 8|

f(3) = |-1|

f(3) = 1

Então, o vértice V possui coordenadas V(3, 1).

3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Para isso, basta calcular f(0):

f(x) = |x² – 6x + 8|

f(0) = |0² – 6 · 0 + 8|

f(0) = |8|

f(0) = 8

Por fim, o ponto C(0, 8) pertence ao gráfico.

Marcando os pontos A, B, C e V no gráfico, temos o seguinte:

Leia também: 5 passos para construir um gráfico de uma função de 2º grau

Exercícios resolvidos sobre função modular

Questão 1 - (IBFC) Considere a função f(x) = |x² – 5|, cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa que indica qual o menor conjunto que pertencerá o contradomínio dessa função.

A) Números naturais

B) Números inteiros

C) Números racionais

D) Números reais

E) Números complexos

Resolução

Alternativa A

Como o domínio é o conjunto dos números naturais, então, x sempre será um número natural.

Um número natural ao quadrado (x²) também é um número natural. Quando calculamos a diferença desse x² com 5, e calculamos o módulo, ou seja |x² – 5|, o resultado também será um número natural, pois o módulo de um número é sempre positivo. Sendo assim, o menor conjunto possível para o contradomínio é o conjunto dos números naturais.

Questão 2 - Seja f(x) = |2x + 2|, existem dois valores a e b, tal que a ≠ b, mas f(a) = f(b) = 4. Então, o valor de f(a + b) é igual a:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

Resolução

Alternativa E

Dada a função f(x) = |2x + 2|, sabemos que f(a) = 4 e f(b) = 4, mas que a ≠ b.

Então, temos que:

f(x) = |2x + 2| = 4

Existem dois casos em que f(x) seja igual a 4. Aplicando a definição de módulo, temos que:

f(x) = 4 → 2x₁ + 2 = 4 ou 2x₂ + 2 = -4

Então, temos que:

Seja x₁ = a:

2a + 2 = 4

2a = 4 – 2

2a = 2

a = 2 : 2

a = 1

Seja x₂ = b:

2b + 2 = -4

2b = -4 – 2

2b = -6

b = -6 : 2

b = -3

Queremos o valor de f(a + b) = f(1 + (-3)) = f(-2):

f(x) = |2x + 2|

f(-2) = |2 · (-2) + 2|

f(-2) = |-4 + 2|

f(-2) = |-2|

f(-2) = 2