Inequações trigonométricas: tgx > k

As inequações trigonométricas são desigualdades que possuem pelo menos uma razão trigonométrica cuja incógnita é um arco. Toda inequação trigonométrica pode ser reduzida a uma inequação do tipo senx < k, senx > k, cosx < k, cosx > k, tgx < k e tgx > k. Neste artigo, estudaremos um método de resolução para inequações que podem ser reduzidas a tgx > k.

Para tanto, é necessário conhecer detalhes sobre o ciclo trigonométrico, por exemplo, como obter a medida da tangente a partir de um ângulo e como transformar uma dessas medidas em um arco.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 un, com centro localizado na origem de um plano cartesiano. O eixo x do plano é conhecido como eixo dos cossenos no ciclo. Já o eixo y do plano é chamado eixo dos senos no ciclo. O eixo das tangentes é uma reta paralela ao eixo y, tangente à circunferência pelo ponto (1, 0), como mostra a figura a seguir.

Os ângulos sobre o ciclo são representados da seguinte maneira: o vértice do ângulo é o centro e seus lados são os raios do ciclo. A única regra é que o primeiro lado do ângulo esteja sobre a parte positiva do eixo dos cossenos. Assim, o segundo lado determina a abertura do ângulo no sentido anti-horário (positivo) ou no sentido horário (negativo). Observe um ângulo de 60° sobre o ciclo trigonométrico:

O segmento CA está sobre o eixo dos cossenos, e o segmento CB é o raio que determina a abertura de 60°. Prolongando o segmento CB para que ele encontre o eixo das tangentes no ponto D, teremos a figura acima. Nessa figura, o comprimento do segmento AD é igual à tangente do ângulo de 60°. Além disso, o ângulo de 60°, em radianos, é igual ao comprimento do arco menor AB.

Para determinar a medida do comprimento do arco, em radianos, usamos a regra de três, tendo em vista que meia volta (180°) equivale a π radianos.

Solução da inequação tgx > k

Na inequação tgx > k, observe que k é a medida do segmento AD, e que x é a medida do comprimento do arco AB, que pode ser relacionada a um ângulo. Dado o segmento AD, de comprimento k, existe um ângulo α relacionado a ele. Observe a imagem abaixo, que contém esse comprimento e ângulo.

Como x representa o comprimento do arco AB, para encontrar esse valor em radianos, basta determinar os ângulos α que fazem com que tgx seja maior que k, isto é, que determinam arcos maiores que o arco AB. Para isso, x precisa estar ligado a ângulos maiores do que α.

A figura a seguir mostra o intervalo do ciclo trigonométrico que fazem com que a tgx seja maior que k.

Observe que existem dois intervalos que fazem com que a tgx seja maior que k. Eles estão destacados em lilás na imagem acima. Qualquer reta que passe por esses intervalos em destaque encontra-se com o eixo das tangentes acima do ponto D, ou seja, fará com que a tangente seja maior que k.

Sabendo que, se existe k no eixo das tangentes, então existe um ângulo α relacionado a ele por meio da tangente. Assim, temos:

tgx > k

tgx > tgα

α + 2kπ < x < π/2 + 2kπ

ou

π + α + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ

Nesse caso, k é um número inteiro.

Exemplo:

Qual é o valor de x na equação tgx > √3?

Solução:

Sabendo que tg60° = √3, temos:

tgx > tg60°

60° = π/3 rad.

π/3 + 2kπ < x < π/2 + 2kπ

ou

π + π/3 + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ