Pares e ternos ordenados

Um ponto é uma noção primitiva da geometria, pois sua existência é aceita sem demonstração, não existindo definição para ele. Além disso, o ponto não tem dimensão, o que o impede também de ter forma ou tamanho. É por isso que ele é a “figura geométrica” mais adequada para localizações no espaço. Assim, justamente para determinar essas localizações, foram criados os pares ordenados e ternos ordenados, que são, respectivamente, duplas e trios de números reais.

Os pares ordenados são duplas de números reais que permitem a localização de qualquer ponto no plano cartesiano. Os ternos ordenados são trios de números reais que permitem a localização de qualquer número no espaço tridimensional. O modo como esses pontos podem ser localizados será discutido a seguir.

Localização de um ponto na reta

Reta numérica

Para localizar pontos em uma reta simples, que também pode ser encarada como o espaço unidimensional, é preciso convertê-la em reta numérica.

Uma reta numérica é uma reta comum sobre a qual foi estabelecida uma relação biunívoca com o conjunto dos números reais. Isso significa que cada número real representa um único ponto na reta e que cada ponto na reta representa apenas um único número real. Além disso, não existe ponto na reta que não seja representado por um número real; e não existe número real que não seja representado por um ponto na reta.

É claro que essa relação é estabelecida respeitando-se a ordem dos números reais. Assim, pode-se dizer que um ponto representa um número real maior ou menor que outro apenas a partir de sua localização sobre a reta. Para ler mais sobre a reta numérica, clique aqui.

Localização do ponto

Um ponto é localizado em uma reta numérica com base na distância entre ele e a origem (ponto relacionado ao número real zero) dessa reta. A distância encontrada é o número real que se relaciona a esse ponto e, portanto, é a localização do ponto na reta.

Na reta abaixo, por exemplo, a distância entre o ponto P e a origem O é 1,36 cm. Portanto, a localização desse ponto é 1,36. Também é comum dizer: “P é o ponto 1,36”.

A localização de um ponto sobre uma reta numérica é chamada de “coordenada”.

Par ordenado

Um plano pode ser obtido por meio de duas retas. Se essas duas retas são numéricas, cruzam-se em suas origens e são perpendiculares, esse plano fica conhecido como plano cartesiano. Como esses planos são formados por duas retas numéricas, podemos falar em localizações de pontos formadas por duas coordenadas. Essas duas coordenadas são o que compõe um par ordenado.

No plano cartesiano, a reta numérica horizontal é chamada de eixo x, ou eixo das abscissas. A reta numérica vertical é chamada de eixo y, ou eixo das ordenadas. Os pares ordenados são formados por uma coordenada x e uma coordenada y, obrigatoriamente nessa ordem. Sua representação é a seguinte:

P (x, y)

Nessa representação, P é um ponto, x é a coordenada horizontal referente ao eixo x, e y é a coordenada vertical referente ao eixo y.

A localização do ponto P é dada da seguinte maneira: encontre a coordenada x sobre o eixo x e faça, passando por ela, uma reta perpendicular ao eixo x. Encontre a coordenada y sobre o eixo y e faça, passando por ela, uma reta perpendicular ao eixo y. O ponto de encontro entre as duas retas perpendiculares é a localização do ponto no plano.

Importante: Dado o ponto Q (1, – 3), a coordenada 1 é referente ao eixo x, e a coordenada – 3 é referente ao eixo y, em todos os casos possíveis no plano cartesiano.

Como exemplo, marcaremos o ponto Q (1, – 3) no plano cartesiano:

Ternos ordenados

Os ternos ordenados seguem o mesmo padrão de formação dos pares ordenados. A diferença é que um terno ordenado é formado por três coordenadas. Por causa disso, cada terno ordenado representa a localização de um ponto no espaço tridimensional.

Esse espaço precisa ser construído da mesma forma que o plano cartesiano, porém com três retas numéricas no lugar de apenas duas. Essas três retas devem ser perpendiculares e encontrar-se em suas origens.

Geralmente, um terno ordenado é apresentado da seguinte maneira:

P (x, y, z)

Nessa representação, P é o ponto, x, y e z são as coordenadas referentes a cada uma das três retas numéricas usadas para definir o espaço.

Para encontrar um ponto no espaço, usaremos o seguinte exemplo: Q (2, – 3, 4). Imagine que uma pessoa está parada sobre a origem do espaço (ponto [0, 0, 0]) e precisa chegar ao ponto Q. Perceba que 2 é a coordenada x, – 3 é a coordenada y e 4 é a coordenada z.

Nesse exemplo, essa pessoa andará para frente se a coordenada x for positiva, e para trás se ela for negativa. Depois, a pessoa andará para a direita se a coordenada y for positiva, e para a esquerda se for negativa. Por fim, ela andará para cima se a coordenada z for positiva, e para baixo se for negativa.

No exemplo, a pessoa dará 2 passos para frente, três passos para a esquerda e quatro passos para cima.

A figura a seguir mostra a localização do ponto Q no espaço.

Podemos, ainda, definir localizações em espaços com mais dimensões, entretanto, é impossível visualizá-las, pois os sentidos humanos conseguem perceber até quatro dimensões: as três dimensões do espaço e o tempo.