Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros. Platão buscava explicar a criação do Universo a partir da geometria e associava esses sólidos geométricos a elementos da natureza. São classificados como sólidos de Platão o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Todos esses cinco sólidos são poliedros regulares, ou seja, possuem arestas e faces congruentes.

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Quais são os poliedros de Platão?

Platão foi um filósofo grego que deu grandes contribuições para o desenvolvimento da matemática.

Os sólidos ou poliedros de Platão é a forma como são conhecidos os cinco sólidos estudados a fundo por ele e seus seguidores. Cada um eles era associado a um elemento da natureza.

→ Tetraedro

O tetraedro é o mais simples dos sólidos de Platão por ser o poliedro regular com o menor número de faces possíveis. Platão associava esse sólido ao elemento fogo. Ele possui quatro faces no formato de um triângulo equilátero, quatro vértices e seis arestas. Ele é conhecido também como pirâmide regular.

→ Cubo

O cubo, que possui faces quadradas, é um poliedro regular com 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Ele era associado ao elemento terra por Platão e também é conhecido como hexaedro regular.

→ Octaedro

Associado ao elemento ar, o octaedro possui 8 faces no formato de um triângulo equilátero, 12 arestas e 6 vértices.

→ Icosaedro

Representando o elemento água, o icosaedro é um poliedro que possui faces triangulares. Ele possui um total de 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

→ Dodecaedro

Considerado o mais harmonioso dos poliedros por Platão, o dodecaedro era associado ao Universo ou cosmo. As suas faces são pentagonais, e ele possui 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

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Fórmula de Euler

Euler percebeu uma relação – não só para os poliedros de Platão, mas para qualquer poliedro convexo da geometria espacial – entre o número de faces, vértices e arestas. Em um poliedro qualquer, podemos relacionar esses elementos pela seguinte fórmula:

• V→ número de vértices;

• A→ número de arestas;

• F→ número de faces.

Essa fórmula nos permite encontrar qualquer um dos três elementos de um poliedro, conhecendo-se os outros dois.

Exemplo

Sabendo que um hexaedro possui 8 vértices e 12 arestas, verifique se a relação de Euler é válida nele.

Resolução:

Sabemos que V – A + F = 2.

V = 8

A = 12

F = 6

Vamos verificar se V – A + F é realmente igual a 2 para que a relação seja válida.

8 – 12 + 6

– 4 + 6

2

Logo, a relação de Euler é válida para o hexaedro.

Exercícios resolvidos

1) Um poliedro convexo possui 8 faces e 16 vértices. A soma do número de faces, vértices e arestas é igual a?

a) 22

b) 26

c) 42

d) 46

e) 48

Resolução:

Primeiro vamos encontrar o número de arestas:

V – A + F = 2

16 – A + 8 = 2

24 – A = 2

24 – 2 = A

22 = A

Agora vamos somar: V + F + A = 16 + 8 + 22 = 46.

Alternativa D.

02) Um poliedro convexo tem 5 faces pentagonais e 3 faces triangulares. Qual é o número de arestas desse poliedro?

a) 34

b) 17

c) 25

d) 32

e) 64

Resolução:

Como ele possui 5 faces pentagonais, cada face pentagonal possui 5 arestas.

5 x 5 = 25

Analogamente, cada face triangular possui 3 arestas.

3 x 3 = 9

Agora vamos realizar a soma 25 + 9 = 34. Como a aresta é o encontro de duas faces, estamos contando cada aresta duas vezes. Para eliminar a repetição, vamos dividir por dois, 34 : 2 = 17.