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Volume do tronco de cone

Volume do tronco de cone, formado pela parte inferior do cone após uma secção transversal, é calculado por uma fórmula específica.
Ilustração de um tronco de cone cinza em um fundo escuro.
O tronco de cone é formado por meio da secção transversal de um cone.

Volume do tronco de cone é um dos cálculos que podem ser realizados envolvendo esse sólido geométrico que possui duas bases circulares de raios R e r e é formado pela parte inferior da secção transversal do cone por um plano. Para calcular o volume do tronco do cone, é necessário conhecer a sua altura, o comprimento do raio da base maior R e o comprimento do raio da base menor r.

Veja também: Planificação de sólidos geométricos — uma forma de representar esses sólidos usando apenas um plano

Resumo sobre volume do tronco de cone

  • O tronco de cone é o sólido geométrico formado pela parte inferior do sólido quando realizamos uma secção transversal no cone.
  • Para calcular o volume do tronco de cone, utilizamos a fórmula:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

  • Nessa fórmula, as incógnitas representam:
    • h → altura do tronco de cone;
    • r → raio da base menor do cone;
    • R → raio da base maior do cone.

Videoaula sobre volume do tronco de cone

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O que é tronco de cone?

Quando realizamos a secção transversal de um cone, dividimos ele em dois sólidos geométricos. A parte de cima se torna um cone menor que o anterior; já a parte de baixo do cone, após a secção transversal, é conhecida como tronco de cone.

Elementos do tronco de cone

O tronco de cone é composto por duas bases circulares, sendo que a maior delas possui raio R e a menor, raio r. Além dos raios, outro elemento importante do cone é a sua altura, de comprimento h. O cone possui também o que conhecemos como geratriz, de comprimento g. A geratriz do cone é o segmento que liga um ponto na circunferência superior ao ponto correspondente a ele na circunferência inferior.

Ilustração de um tronco de cone com seus elementos indicados.
Elementos do tronco de cone.
  • R→ comprimento do raio da base maior do tronco de cone;
  • r → comprimento do raio da base menor do tronco de cone;
  • h → altura do tronco de cone;
  • g → geratriz do tronco de cone.

Qual é a fórmula do volume do tronco de cone?

O volume de um sólido geométrico é o espaço que ele ocupa. O tronco de cone pode ter seu volume calculado por meio de uma fórmula. Para aplicar essa fórmula, é necessário conhecer o comprimento do raio da sua base maior R, o comprimento do raio da sua base menor r, e o comprimento da altura h. Com base nessas informações, o volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

Como calcular o volume do tronco de um cone?

Para calcular o volume do tronco de cone, basta substituir os valores do raio maior R, do raio menor r, e da altura h na fórmula do volume do tronco de cone, e calcular o valor da expressão numérica.

Exemplo:

Um tronco de cone possui 14 cm de altura, raio da base maior medindo 18 cm e raio da base maior medindo 4 cm. Utilizando π = 3, calcule o volume do tronco.

Resolução:

Calculando o volume do tronco de cone:

\(V=\ \frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

\(V=\frac{3\cdot14}{3}\cdot\left({18}^2+18\cdot4+4^2\right)\)

\(V=14\cdot\left(324+72+16\right)\)

\(V=14\cdot412\ \)

\(V=5768\ cm^3\)

Saiba mais: Como calcular o volume do tronco de uma pirâmide?

Exercícios resolvidos sobre volume do tronco de cone

Questão 1

Em um cone com 18 cm de altura, foi realizada uma secção transversal que formou um novo cone com 3 cm de altura e um tronco de cone. Sabendo que o raio da base desse trapézio mede 12 cm e o raio menor mede 2 cm, então o volume do cone é de:

A) 690π cm³

B) 750π cm³

C) 780π cm³

D) 860π cm³

E) 920π cm³

Resolução:

Alternativa D

Primeiro calcularemos o valor da altura do tronco de cone. Sabemos que a altura do tronco é igual à altura do cone maior menos a altura do cone menor:

h = 18 – 3 = 15 cm

Agora basta substituir os valores na fórmula do volume:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\ \) 

\(V=\frac{\pi\cdot15}{3}\cdot\left({12}^2+12\cdot2+2^2\right)\)

\(V=5\pi\cdot\left(144+24+4\right)\)

\(V=5\pi\cdot172\)

\(V=860\ \pi\)

Questão 2

Um copo possui base inferior com diâmetro de 4 cm, base superior com 7 cm de diâmetro e altura de 8 cm. Então o volume desse copo é de:

(Use π=3.)

A) 216 cm³

B) 200 cm³

C) 186 cm³

D) 162 cm³

E) 150 cm³

Resolução:

Alternativa C

Como temos o diâmetro, e sabemos que o raio é igual à metade do diâmetro, então temos que:

R = 7 : 2 = 3,5

r = 4 : 2 = 2

h = 8

Calculando o volume:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

\(V=\frac{3\cdot8}{3}\cdot\left({3,5}^2+3,5\cdot2+2^2\right)\)

\(V=8\cdot\left(12,25+7+4\right)\)

\(V=8\cdot\left(12,25+7+4\right)\)

\(V=8\cdot23,25\)

\(V=186\ cm³\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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