Volume do tronco de cone
Volume do tronco de cone é um dos cálculos que podem ser realizados envolvendo esse sólido geométrico que possui duas bases circulares de raios R e r e é formado pela parte inferior da secção transversal do cone por um plano. Para calcular o volume do tronco do cone, é necessário conhecer a sua altura, o comprimento do raio da base maior R e o comprimento do raio da base menor r.
Veja também: Planificação de sólidos geométricos — uma forma de representar esses sólidos usando apenas um plano
Resumo sobre volume do tronco de cone
- O tronco de cone é o sólido geométrico formado pela parte inferior do sólido quando realizamos uma secção transversal no cone.
- Para calcular o volume do tronco de cone, utilizamos a fórmula:
\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)
- Nessa fórmula, as incógnitas representam:
- h → altura do tronco de cone;
- r → raio da base menor do cone;
- R → raio da base maior do cone.
Videoaula sobre volume do tronco de cone
O que é tronco de cone?
Quando realizamos a secção transversal de um cone, dividimos ele em dois sólidos geométricos. A parte de cima se torna um cone menor que o anterior; já a parte de baixo do cone, após a secção transversal, é conhecida como tronco de cone.
Elementos do tronco de cone
O tronco de cone é composto por duas bases circulares, sendo que a maior delas possui raio R e a menor, raio r. Além dos raios, outro elemento importante do cone é a sua altura, de comprimento h. O cone possui também o que conhecemos como geratriz, de comprimento g. A geratriz do cone é o segmento que liga um ponto na circunferência superior ao ponto correspondente a ele na circunferência inferior.
- R→ comprimento do raio da base maior do tronco de cone;
- r → comprimento do raio da base menor do tronco de cone;
- h → altura do tronco de cone;
- g → geratriz do tronco de cone.
Qual é a fórmula do volume do tronco de cone?
O volume de um sólido geométrico é o espaço que ele ocupa. O tronco de cone pode ter seu volume calculado por meio de uma fórmula. Para aplicar essa fórmula, é necessário conhecer o comprimento do raio da sua base maior R, o comprimento do raio da sua base menor r, e o comprimento da altura h. Com base nessas informações, o volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:
\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)
Como calcular o volume do tronco de um cone?
Para calcular o volume do tronco de cone, basta substituir os valores do raio maior R, do raio menor r, e da altura h na fórmula do volume do tronco de cone, e calcular o valor da expressão numérica.
Exemplo:
Um tronco de cone possui 14 cm de altura, raio da base maior medindo 18 cm e raio da base maior medindo 4 cm. Utilizando π = 3, calcule o volume do tronco.
Resolução:
Calculando o volume do tronco de cone:
\(V=\ \frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)
\(V=\frac{3\cdot14}{3}\cdot\left({18}^2+18\cdot4+4^2\right)\)
\(V=14\cdot\left(324+72+16\right)\)
\(V=14\cdot412\ \)
\(V=5768\ cm^3\)
Saiba mais: Como calcular o volume do tronco de uma pirâmide?
Exercícios resolvidos sobre volume do tronco de cone
Questão 1
Em um cone com 18 cm de altura, foi realizada uma secção transversal que formou um novo cone com 3 cm de altura e um tronco de cone. Sabendo que o raio da base desse trapézio mede 12 cm e o raio menor mede 2 cm, então o volume do cone é de:
A) 690π cm³
B) 750π cm³
C) 780π cm³
D) 860π cm³
E) 920π cm³
Resolução:
Alternativa D
Primeiro calcularemos o valor da altura do tronco de cone. Sabemos que a altura do tronco é igual à altura do cone maior menos a altura do cone menor:
h = 18 – 3 = 15 cm
Agora basta substituir os valores na fórmula do volume:
\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\ \)
\(V=\frac{\pi\cdot15}{3}\cdot\left({12}^2+12\cdot2+2^2\right)\)
\(V=5\pi\cdot\left(144+24+4\right)\)
\(V=5\pi\cdot172\)
\(V=860\ \pi\)
Questão 2
Um copo possui base inferior com diâmetro de 4 cm, base superior com 7 cm de diâmetro e altura de 8 cm. Então o volume desse copo é de:
(Use π=3.)
A) 216 cm³
B) 200 cm³
C) 186 cm³
D) 162 cm³
E) 150 cm³
Resolução:
Alternativa C
Como temos o diâmetro, e sabemos que o raio é igual à metade do diâmetro, então temos que:
R = 7 : 2 = 3,5
r = 4 : 2 = 2
h = 8
Calculando o volume:
\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\)
\(V=\frac{3\cdot8}{3}\cdot\left({3,5}^2+3,5\cdot2+2^2\right)\)
\(V=8\cdot\left(12,25+7+4\right)\)
\(V=8\cdot\left(12,25+7+4\right)\)
\(V=8\cdot23,25\)
\(V=186\ cm³\)