Elipse
A elipse é uma figura bastante comum na geometria plana. Presente no dia a dia, a elipse descreve, por exemplo, o trajeto que o planeta Terra faz no movimento de translação, conhecido como órbita. A elipse é conhecida como cônica, porque ela pode ser obtida por meio da secção de um cone.
Analisando-a de forma analítica, ela possui elementos importantes, como os focos, o eixo maior e o eixo menor, além da distância focal, o que torna possível descrevê-la por meio de uma equação. Na matemática, ela é definida como o conjunto de pontos cuja soma da distância entre esses pontos com a distância entre cada um de seus focos é sempre constante.
Leia também: O que é geometria analítica?
O que é elipse?
Dados dois pontos, F1 e F2, com distância entre eles igual a 2c, definimos como elipse o conjunto de pontos Pn, cuja soma da distância entre os pontos Pn e F1 com a distância entre os pontos Pn e F2 é sempre constante e igual a 2a.
Por definição, para que essa figura seja uma elipse, as distâncias são iguais à constante 2a, que nada mais é que a distância de A1 até A2, então temos que:
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dAB = 2a
É importante compreender também que a elipse é conhecida como uma cônica, por ser possível obter essa figura geométrica ao realizar-se a secção de um cone.
Elementos da elipse
Dada uma elipse qualquer, ela possui sempre dois eixos, o eixo maior, que contém os focos, e o eixo menor. Além disso, ela possui outros elementos importantes:
O → centro da elipse
F1 e F2 → focos da elipse
A1 e A2 → extremidades do eixo horizontal da elipse
B1 e B2 → extremidades do eixo vertical da elipse
2b → distância entre B1 e B2
2c → distância focal
2a → distância entre A1 e A2
Note também que é possível aplicar o teorema de Pitágoras, que relaciona a, b e c.
a² = b² + c²
Outro elemento importante é que, em uma elipse, a distância focal sempre será menor que a distância do eixo maior, ou seja, 2c < 2a.
Veja também: O que são parábolas?
Excentricidade da elipse
Outra relação importante é a excentricidade, quanto maior for a excentricidade, mais achatada será a elipse, a excentricidade é a razão entre comprimento c e comprimento a:
Como a > c, então. ao dividirmos c por a, vamos encontrar sempre um número maior que 0 e menor do que 1, ou seja, 0 < e < 1. Quanto mais próximo de 1, mais achatada será a elipse, e quanto mais próximo de 0, mais redonda será essa elipse, aproximando-se cada vez mais de uma circunferência.
Equação da elipse
Na geometria analítica, é bastante comum buscar descrever figuras geométricas por meio da álgebra. Sendo assim com os estudos dessa cônica, foi possível desenvolver-se a equação da elipse com centro na origem:
Na equação, quando a > b, então os focos da elipse estarão sobre o eixo x e teremos que:
a² = b² + c², em que 2c é a distância focal, como vimos anteriormente.
Quando b > a, os focos da elipse estão sobre o eixo y, e teremos que b² = a² + c².
Exemplo 1:
Encontre a equação da elipse no plano:
Note que os focos estão sobre o eixo x, logo, a > b.
Analisando a elipse, note que a = 3 e b = 2, sendo assim, temos que:
Exemplo 2:
Represente no gráfico a elipse que possui equação:
Para realizar a representação gráfica, precisamos encontrar as extremidades da elipse:
Sabemos que:
a² = 16
a = √16
a = 4
Por outro lado:
b² = 25
b = √25
b = 5
Note que b > a, quando isso ocorre, os focos da elipse estarão sobre o eixo vertical.
Agora vamos encontrar o valor de c. Sabemos que, nesse caso, b é o eixo maior, então, pela relação pitagórica, temos que:
b² = a² + c²
5² = 4² + c²
25 = 16 + c²
25 – 16 = c²
c² = 9
c = √9
c = 3
Área da elipse
Assim como as demais figuras geométricas, é de grande importância calcular-se a área delimitada pela figura, nesse caso, uma elipse. Para isso, utilizamos a fórmula:
Ae = abπ
Ae → área da elipse
a → metade do comprimento do eixo horizontal
b → metade do comprimento do eixo vertical
Acesse também: Equação geral da circunferência: qual a fórmula?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – A área da elipse cujo eixo maior mede 10 cm e eixo menor mede 6 cm é de:
(use π = 3,1)
A) 18,1 cm²
B) 30,5 cm²
C) 36 cm²
D) 40,5 cm²
E) 46,5 cm²
Resolução
Alternativa E.
Como vamos calcular o produto entre a metade da medida dos comprimentos do eixo maior e a metade do eixo menor, e a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto, podemos supor que o eixo maior seja o horizontal ou o vertical, pois isso não alterará o resultado.
Suponha que o eixo maior seja o horizontal, então temos que:
2a = 10
a = 10 : 2
a = 5 cm
Além disso:
2b = 6
b = 6 : 2
b = 3 cm
Então a área é igual a:
A = abπ
A = 5 · 3 · 3,1
A = 15 · 3,1
A = 46,5 cm²
Questão 2 – (UFRN) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos.
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de
A) 3 m.
B) 4 m.
C) 5 m.
D) 6 m.
Resolução
Alternativa C.
Primeiro faremos o desenho para entendermos melhor a situação:
Note que do retângulo maior para o retângulo menor, há a diferença de duas unidades de comprimento, sendo assim, tem-se 1 metro para cada um dos lados, ou seja, o seguimento que liga os pontos D e A tem1 m.
Queremos encontrar a distância do foco até a parede, nesse caso, faremos a distância de F1 até D. Primeiro vamos encontrar a distância focal, que é igual a 2c, para isso, sabemos que o eixo maior mede 20 m, e o menor, 16 m. Então temos que:
2a = 20
a = 20 : 10
a = 10
Também temos que:
2b = 16
b = 16 : 2
b = 8
Lembrando-nos da relação pitagórica entre a, b e c na elipse, temos que:
a² = b² + c²
10² = 8² + c²
100 = 64 + c²
100 – 64 = c²
c² = 36
c = √36
c = 6
Sabendo que c = 6, a distância de F1 até A é igual a: a – c = 10 – 6 = 4. Como queremos a distância de F1 até o ponto D, basta calcularmos a soma da distância de F1 até A mais de A até D.
4 + 1 = 5 m