Hipérbole
A hipérbole é uma figura plana estudada na Geometria Analítica. Ela é classifica como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone. Além da hipérbole, existem outras cônicas, que são a elipse, a parábola e a circunferência.
Os principais elementos da hipérbole são os seus focos, a sua excentricidade e o seu centro. Por definição, para que um ponto P pertença a uma hipérbole, o módulo da diferença entre a distância do foco F1 até P e do foco F2 até P é sempre constante, igual a 2a.
Logo, a hipérbole é formada pelos pontos que satisfazem essa definição. Ao representar uma hipérbole no plano cartesiano, é possível obter dados para descrever essa figura por meio de uma equação, a fim de estudá-la de forma algébrica. Esse cálculo é conhecido como equação da hipérbole.
Veja também: Quais são as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?
Resumo sobre a hipérbole
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A hipérbole é uma figura plana classificada como cônica.
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Ela é obtida a partir de um corte específico feito no cone.
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Dados F1 e F2 como focos da hipérbole e P um ponto pertencente a ela, temos:
- Quando a hipérbole tem os focos no eixo x, sua equação é:
- Quando a hipérbole tem focos no eixo y, sua equação é:
O que é hipérbole?
Hipérbole é a figura obtida a partir de um corte específico feito no cone, por isso, geometricamente, ela também é conhecida como uma cônica.
De forma analítica, a hipérbole é o lugar geométrico formado pelos pontos em que a diferença entre distância desse ponto a outros dois pontos conhecidos como focos é sempre constante.
Dados dois pontos distintos no plano cartesiano, F1 e F2, definiremos ambos como focos da hipérbole e 2c como a distância entre eles, também chamada de distância focal. Assim, a hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cartesiano, sendo que o módulo da diferença entre os pontos F1 e F2 é a constante igual a 2a e que 2a < 2c.
Elementos da hipérbole
Vejamos, a seguir, os principais elementos de uma hipérbole.
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F1 e F2: focos da hipérbole.
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O: centro da hipérbole.
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2c: distância focal (dF1F2).
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2a: medida do eixo real (dA1A2).
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2b: medida do eixo imaginário (dB1B2).
Em uma hipérbole, podemos relacionar as distâncias a, b e c de forma pitagórica:
No triângulo retângulo, se aplicarmos o teorema de Pitágoras, podemos perceber uma relação importante:
Leia também: Elementos de um poliedro — quais são eles?
Equação da hipérbole
No estudo da hipérbole, é comum utilizarmos a representação algébrica da hipérbole por meio de uma equação. Para descrevê-la dessa forma, existem dois casos. Um deles se dá quando os focos da parábola estão no eixo x. O outro ocorre quando os focos da parábola estão no eixo y.
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1º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo x
A equação da hipérbole com focos sobre o eixo x é a mais comum (caso das hipérboles representadas anteriormente). A sua equação é a seguinte:
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2º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo y
Veja a seguir uma hipérbole com focos no eixo y:
Quando os focos da hipérbole estão no eixo y, sua equação será:
Como calcular a hipérbole?
Para encontrar a equação da hipérbole, é necessário encontrar os valores de a e b, de acordo com as informações dadas.
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Exemplo de cálculo de hipérbole
Determine qual é a equação da hipérbole com focos F1(-5, 0) e F2(5, 0) e eixo imaginário igual a 6 unidades.
Resolução:
Analisando os pontos do foco, sabemos que eles estão no eixo x. Assim, a equação dessa hipérbole é uma equação do tipo:
Sabemos que o eixo imaginário possui 6 unidades, portanto, temos:
Com os pontos do foco, sabemos que a distância da origem até o foco é 5 unidades:
c = 5
Para encontrar o valor de a, utilizaremos a relação pitagórica entre essas medidas:
c² = a² + b²
5² = a² + 3²
25 = a² + 9
25 – 9 = a²
16 = a²
a = 4
Conhecendo os valores de a e b, basta substituí-los na equação:
Saiba também: Distância entre dois pontos — a medida do segmento de reta que liga ambos
Exercícios resolvidos sobre hipérbole
Questão 1
Qual é a distância focal da hipérbole descrita pela equação
A)
B)
C)
D) 2
E) 25
Resolução:
Alternativa B
Logo, temos:
\(c = \sqrt{41} \)
Como a distância focal é 2c, ela será igual a:
\(2\sqrt{41} \)
Questão 2
Qual é a equação da hipérbole com focos nos pontos
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa D
Sabemos que
Para encontrar o valor de b, calcularemos:
Como essa hipérbole possui focos no eixo x, sua equação é dada por:
Assim, a equação da hipérbole será: