Expressões algébricas

As expressões algébricas são aquelas que possuem números e letras. Essas letras são utilizadas para expressar valores desconhecidos ou valores que podem variar, por isso elas são conhecidas também como variáveis.

O uso de expressões algébricas é bastante comum para analisar o comportamento matemático de variáveis e para descrever fórmulas da Física, Química e da própria Matemática, sendo bastante comum no estudo da geometria analítica, funções, polinômios e equações.

Os polinômios são casos particulares de expressões algébricas. Quando essa expressão possui um único termo, é conhecida como monômio e, quando possui vários, é chamada de polinômio.

Leia também: Frações algébricas — expressões que possuem incógnita no denominador

O que é uma expressão algébrica?

Na Matemática, conhecemos como termo algébrico um número acompanhado de uma variável. A expressão algébrica nada mais é do que a representação de operações básicas da Matemática, ou seja, adição, subtração, multiplicação e divisão, realizadas com termos algébricos. Utilizamos as expressões algébricas constantemente para resolver problemas relacionados com equações e funções, bem como na aplicação de fórmulas para calculo de área, volume, entre outras. Veja a seguir alguns exemplos de expressões algébricas.

a) -4ax² + 2ab

b) 5x – 2y

c)x² +2x `- 3

d) √z +3

Existem casos particulares de expressões algébricas: os monômios e os polinômios.

• Monômios

Quando um termo algébrico possui variáveis com o expoente pertencente ao conjunto dos números naturais, esse termo é classificado como um monômio.

Um monômio é um termo algébrico que possui variável e número separados apenas por uma multiplicação. Ele é composto por duas partes: a parte literal, que são as letras que compõem o termo, e o coeficiente, que é o número que acompanha o termo.

Exemplos:

a) 3ay³
coeficiente: 3

parte literal: ay³

b) – 2bx
coeficiente: – 2
parte literal: bx

c) m²n

coeficiente: 1
parte literal: m²n

• Polinômios

A expressão algébrica composta exclusivamente por monômios é conhecida como polinômio. É bastante comum o uso de polinômios em funções, que são conhecidas como funções polinomiais. O estudo de polinômios se aprofunda bastante, desenvolvendo várias operações. Além disso, eles são utilizados na geometria analítica para descrever o comportamento de figuras planas no plano cartesiano.

Exemplos:

a) 3y² – 4x + 6

b)2ax + 5a³b + 2a  – 3

c) 5cd  - 3d

d) 3x³ – 2x² + 5x – 7

Veja também: Como dividir um polinômio por um monômio?

Simplificação de expressões algébricas

Realizar a simplificação de uma expressão algébrica é o mesmo que escrevê-la de forma mais simples. Para isso, precisamos entender o que são termos semelhantes.

Conhecemos como termos semelhantes aqueles termos algébricos que possuem a mesma parte literal, como 4xy² e 5xy². Para que eles sejam semelhantes, as variáveis e seus expoentes precisam ser os mesmos, podendo ter coeficientes diferentes. Quando os termos são semelhantes, podemos somar ou subtrair os seus coeficientes, simplificando a expressão algébrica.

Exemplo:

4a²b² – 8a – 2ab + 4a²b – 2a²b² + 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5 + 3a²b²

Vamos identificar os termos que são semelhantes entre si:

4a²b² – 8a – 2ab + 4a²b – 2a²b² + 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5 + 3a²b²

Fazendo a conta com seus coeficientes, teremos (4– 2 + 3)a²b² = 5, logo:

5a²b² – 8a – 2ab + 4a²b+ 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5

Repetindo o processo, notamos que não há nenhum outro termo semelhante com parte literal composta apenas por a, então vamos fazer o terceiro termo com parte literal ab:

5a²b² – 8a – 2ab + 4a²b+ 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5

Operando com seus coeficientes, temos (–2 –3)ab = – 5ab.

5a²b² – 8a – 5ab + 4a²b+ 6b + 10ab² – 5a²b + 3b + 5

Repetindo o processo para todos os termos da expressão:

5a²b² – 8a – 5ab + 4a²b + 6b + 10ab² – 5a²b + 3b + 5

(4 – 5)a²b = - 1 a²b

(6+3)b = 9b

Então, a expressão algébrica simplificada é:

5a²b² – 8a – 5ab – 1a²b + 9b + 10ab² + 5

5a²b² – 8a – 5ab – a²b+ 9b + 10ab² + 5

Operações algébricas

Para somar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, fazemos a junção dessas expressões e, posteriormente, a simplificação dos seus termos semelhantes, por isso é fundamental compreender como se simplifica uma expressão algébrica.

Exemplo:

→ Adição

(3a² + 5ab – 3) + (2a² – 3ab + 3b – 8)

Para calcular a soma, vamos eliminar os parênteses de cada uma das expressões:

3a² + 5ab – 3 + 2a² – 3ab + 3b – 8

Agora vamos simplificar a expressão algébrica:

5a² + 2ab + 3b – 11

Exemplo:

→ Subtração

A diferença da adição para a subtração é a necessidade de fazer jogo de sinal com a expressão que vem após o sinal de menos. Veja o exemplo a seguir:

(3a² + 5ab – 3) – (2a² – 3ab + 3b – 8)

Vamos inverter o sinal de cada termo algébrico da segunda expressão e remover os parênteses:

3a² + 5ab – 3 – 2a² + 3ab – 3b + 8

Agora vamos simplificar a expressão:

a² + 8ab – 3b + 5

Exemplo:

→ Multiplicação

Na multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva:

(2xy + 4x – 3 ) ( 3y + 5x)

2xy · 3y + 2xy  · 5x + 4x · 3y +  4x  · 5x + (– 3) · 3y + ( – 3)  · 5x

6xy² + 10x²y+12xy+20x² – 9y  – 15x

Acesse também: Como resolver potenciação de frações algébricas?

Valor numérico das expressões algébricas

Em uma expressão algébrica, é possível estimar um valor para as suas variáveis. Quando isso acontece, calculamos o valor dessa expressão substituindo as variáveis pelo valor dado. A resposta é conhecida como valor numérico da expressão. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo:

Dada a expressão 4ab² + 2a – 5b – 17, qual é o valor numérico da expressão quando a= 3 e b= – 1?

Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o a por 3 e b por – 1.

4ab² + 2a – 5b – 17

4·3·(–1)² + 2 · 3 – 5· (– 1) –17

4·3·1+6 + 5 –17

12 +6 + 5 – 17 

18+5 – 17

23 – 17

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Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.

Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab².

O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por

A) 8b³

B) 6b³

C) 5b³

D) 4b³

E) 2b³

Resolução

Alternativa B. Como vimos, a diferença entre o comprimento horizontal e o vertical é igual à metade do vertical, então temos que 2a –  2b = b.

2a= b + 2b

a= 3b/2

Substituindo na fórmula do volume a por 2b, temos que:

Questão 2 – Marque a alternativa que contém a expressão algébrica que representa o perímetro da figura a seguir:

A) 5x + 2

B) 10x + 4

C) 9x +4

D) x⁴ + 3

E) 10x² + 16

Resolução

Alternativa C. Note que alguns lados não foram informados na imagem, mas são congruentes pela formação da figura. Então, vamos colocar todos os lados na imagem e somar:

P = x + (x+1) + (x+1) + x + x + (2x +1) + (2x+1)

P = 9x + 4