Geometria espacial

A geometria espacial é a análise de sólidos no espaço, ou seja, é a geometria para objetos tridimensionais, diferente da geometria plana, que é o estudo de figuras bidimensionais. Assim como esta, aquela surge com base em conceitos primitivos, sendo eles: ponto, reta, plano e espaço.

Com base nos elementos primitivos, desenvolve-se os sólidos geométricos, sendo os principais os poliedros: paralelepípedo, cubo e demais prismas, além dos conhecidos como sólidos de Platão; e os corpos redondos: cone, cilindro e esfera. Além do reconhecimento desses sólidos, é importante compreender que os cálculos de volume e de área total possuem fórmulas específicas para cada um dos tipos.

Conceitos da geometria espacial

É importante compreendermos que os elementos primitivos ponto, reta, plano e espaço são a base da geometria e que eles não possuem uma definição. Ainda assim, todos nós conseguimos ter, de forma intuitiva, a noção básica do que é cada um desses elementos e a posição relativa entre eles.

Com base nas construções geométricas e nos elementos primitivos, surgiu a área de estudo da geometria espacial, que vai desde as noções básicas até o conceito de sólido geométrico, considerando o cálculo de sua área total e seu volume. Lembrando que, na geometria espacial, estamos trabalhando com três dimensões, sendo elas: largura, altura e comprimento, ou, em outros momentos, largura, profundidade e comprimento.

Os conceitos iniciais da geometria espacial são as posições relativas entre pontos no plano, entre ponto e plano, entre reta e plano, e entre dois planos.

• Posição relativa entre ponto e reta, e ponto e plano

O ponto pode pertencer ou não à reta, e ele pode pertencer ou não ao plano.

• Posição relativa entre pontos

Conhecendo dois ou mais pontos, eles podem ser colineares ou não, e coplanares ou não. Os pontos são coplanares quando pertencem ao mesmo plano, e colineares quando pertencem a uma mesma reta.

• Posição relativa entre duas retas

Quando as retas são coplanares, elas podem ser paralelas, concorrentes e coincidentes.

→ Paralelas: quando não possuem nenhum ponto em comum.

→ Concorrentes: quando possuem um ponto em comum.

→ Coincidentes: quando as retas são iguais, ou seja, há só uma reta.

Quando as retas não pertencem ao mesmo plano, elas são conhecidas como retas reversas.

Para saber mais informações acerca desse tipo de posição, leia: Posições relativas de duas retas.

• Posições relativas entre dois planos

Ao analisar-se a posição relativa entre dois planos, eles podem ser classificados como paralelos ou secantes.

→ Planos paralelos: não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, não há interceptação de um plano com o outro.

→ Planos secantes: quando se interceptam.

→ Planos coincidentes: quando são iguais, ou seja, há somente um plano.

Para saber mais sobre esse tipo de relação geométrica, acesse o nosso texto: Posição relativa entre planos.

• Posição relativa entre uma reta e um plano

Ao comparar-se a reta com um plano, essa reta pode ser paralela ao plano, pertencente ao plano ou secante ao plano.

→ Reta secante ao plano: quando ela corta o plano e possui um único ponto em comum a ele.

→ Reta pertencente ao plano: quando todos os pontos da reta estão contidos no plano.

→ Reta paralela ao plano: quando não possui nenhum ponto em comum ao plano.

Aprofunde-se nesse conceito básico da geometria espacial acessando nosso texto: Posição relativa entre reta e plano.

Classificação dos sólidos geométricos

Os sólidos geométricos podem ser classificados como:

• Poliedros

Sólidos fechados que possuem faces poligonais, compostos por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro).

• Aresta: é o segmento de reta que liga dois vértices de um poliedro.

• Vértice: é o encontro de uma ou mais arestas, denotado pelos pontos A, B, C, D, E, F, G e H neste caso.

• Face

As faces de um poliedro são os polígonos que compõem o sólido.

Relação de Euler

Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, dada pela expressão:

V – A + F = 2

Logo, é possível descobrir, com base na equação, a quantidade de arestas que um sólido possui pelo número de faces e de vértices.

Para entender de forma mais detalhada essa expressão, leia: Relação de Euler.

• Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza.

• Corpos redondos

Conhecidos também como sólidos de revolução, são sólidos que possuem como base um círculo (no caso do cone e cilindro) ou que são construídos sobre a rotação de um círculo.

Para saber mais detalhes sobre os poliedros, acesse o nosso texto: Poliedros.

Fórmulas dos principais sólidos geométricos

As principais fórmulas da geometria espacial são para os cálculos da área total (At) e do volume (V) de cada um dos sólidos. Cada fórmula depende do sólido.

• Cubo

V = a³

At = 6 . a²

• Paralelepípedo

V = a . b . c

At = 2ab + 2ac + 2bc

O volume e a área total do prisma e da pirâmide dependem do polígono que está na base de cada um dos sólidos, por isso usamos A_b: área da base e A_l: área lateral.

• Prisma

Note que a base do prisma pode ser diferente de um caso para o outro, logo, o volume depende diretamente da área da base.

V = A_b . h

At = 2A_b + A_l

• Pirâmide

Assim como os prismas, a base da pirâmide pode ser diferente, logo, o volume depende diretamente da base.

A_t = A_b + A_l

• Cilindro

V = πr² . h

A_t = 2πr (r+h)

• Cone

A_t = πr (g + r)

• Esfera

A_t = 4 πr²

Geometria espacial x geometria plana

O domínio da geometria plana (bidimensional) é fundamental para o aprendizado da geometria especial (tridimensional), pois muitos conceitos trabalhados na primeira são pré-requisitos para o aprendizado da segunda.

Entenda que na geometria plana o trabalho é realizado com figuras geométricas que possuem duas dimensões. Essas dimensões podem ser citadas como base e altura ou como comprimento e largura. Há um trabalho com quadrados, círculos, entre outras figuras planas, além do desenvolvimento dos cálculos de áreas e perímetros.

Já na geometria espacial, como vimos aqui, o trabalho é realizado com três dimensões, no que chamamos de espaço. Conhecemos aqui os sólidos geométricos, e a partir de agora, trabalhamos com largura, comprimento e altura. O que antes era conhecido, por exemplo, como círculo, agora, no universo tridimensional, ganha mais uma dimensão e é conhecido como esfera.

Na geometria espacial, não falamos em perímetro, mas sim em área total de um sólido, e também surge a ideia de capacidade de um sólido, conhecida como volume. Para ilustrar bem a diferença de ambos, note a comparação visual da esfera no espaço tridimensional e do círculo no plano bidimensional.

Exercício resolvido

1) (Enem) Para resolver o problema de abastecimento de água, foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna, a antiga será desativada. (Utilize 3,0 como aproximação para π.)

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5

b) 1,0

c) 2,0

d) 3,5

e) 8,0

Resolução

Sobre a nova cisterna, sabemos que V = 81 m³, h = 3 e que π = 3.

No entanto, como ela tem o formato cilíndrico, o volume de um cilindro é dado por:

V = πr² . h

Então, fazendo com que V = 81, h = 3 e π = 3

81 = 3 . r² . 3

81 = 9 . r²

9 = r²

Comparando-se com o raio antigo 3 – 1 = 2, logo, houve um aumento de 2 metros.

Alternativa "C"

02) (IFG) As medidas internas de um reservatório no formato de um paralelepípedo são de 2,5 m de comprimento, 1,8 m de largura e 1,2 m de profundidade (altura). Se, em um determinado momento do dia, esse reservatório está apenas com 70% de sua capacidade, a quantidade de litros que faltam para enchê-lo é igual a:

1. 1620

2. 1630

3. 1640

4. 1650

5. 1660

Resolução

Como o formato do reservatório é um paralelepípedo retângulo, o volume é dado por:

V = a . b . c (Em que a, b e c são as dimensões 2,5, 1,8 e 1,2 respectivamente.)

V = 2,5 . 1,8 . 1,2

V = 5,4 m³

Como 5,4 m³ é a capacidade total do reservatório, multiplica-se por 1000 para saber sua capacidade total em litros, ou seja:

V = 5,4 . 1000 = 5400 litros

Por fim, queremos saber quanto falta para encher o reservatório. Sabendo-se que 70% dele está cheio, restam 30% de 5400 para terminar de enchê-lo, logo, a quantidade que falta é de:

30% de 5400 = 0,3 . 5400 = 1620 litros

Alternativa “a”