Inequação modular
Para compreender bem o que é uma inequação modular, é necessário saber cada um dos seus termos, ou seja, o que é uma inequação e o que é o módulo de um número. Chamamos de inequação uma expressão matemática que envolve uma desigualdade (<, ≤, >, ≥). O módulo de um número nada mais é que a distância desse número até zero, logo, ele é sempre um número positivo.
Representamos o módulo de um número n da seguinte maneira |n|. Então, inequação modular é uma expressão que possui os dois elementos, ou seja, o módulo e a desigualdade. O nosso interesse ao depararmo-nos com uma inequação modular é encontrar o seu conjunto de soluções, e, para isso, é importante compreendermos a definição do módulo.
Leia também: Quais são as propriedades das desigualdades nas inequações?
O que é uma inequação modular?
Uma inequação será conhecida como modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo.
Exemplos:
-
|x| > 2
-
|x+1| < -5
-
6 ≤ |2 - x|
Note que em todas as expressões existe um símbolo de desigualdade e também o símbolo do módulo. Uma inequação possui sempre um conjunto de soluções, então, resolver a inequação modular é encontrar esse conjunto de soluções.
Como resolver uma inequação modular?
Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação modular, precisamos aplicar a definição de módulo. Tendo clara a definição de módulo, é possível encontrarmos o conjunto de soluções das inequações com facilidade. Por isso, vamos lembrar que:
|x| = x → se x > 0
|x| = -x → se x < 0
Exemplo 1:
Começando por um caso bem simples, vamos encontrar a solução da inequação |x| > 3.
Para que |x| seja maior que 3, vamos separar em dois casos:
1º caso: x > 0
Se x é positivo, então |x| = x, sendo assim, queremos que x seja maior que 3.
x > 3
Note que qualquer valor maior que 3 satisfaz a equação, por exemplo: x = 4 |4| > 3. Assim, temos um conjunto de soluções, com a restrição de que x > 3.
2º caso: x < 0
Se x é negativo, nesse caso, note que -x > 3. Por outro lado, multiplicando por -1, temos que:
-x > 3 (-1)
x < -3
Então, o conjunto de solução nesse caso são valores menores que -3, por exemplo, note que -4 é solução, pois |-4| = 4, assim, |-4| > 3.
Então a solução da equação é:
S = {x Є R | x < -3 ou x > 3}
Podemos também fazer a representação geométrica dessa solução:
Veja também: Representação de subconjuntos por intervalos
Exemplo 2:
Com base agora em exemplos um pouco mais difíceis, vamos resolver a seguinte inequação:
|x + 2| ≤ 7
1º caso: x + 2 > 0
se x + 2 > 0, então, |x + 2| = x + 2, logo, teremos que:
x + 2 ≤ 7
x ≤ 7 – 2
x ≤ 5
2º caso: x + 2 < 0
se x + 2 < 0, então |x + 2| = - (x + 2), logo, teremos que:
- (x + 2) ≤ 7 → multiplicando por (-1)
x + 2 ≥ -7
x ≥ -7 -2
x ≥ -9
S = {x Є R| -9 ≤ x ≤ 5}
É importante entender que qualquer número entre -9 e 5 é solução da inequação. Escolhendo alguns desses valores como exemplos, faremos x = 3.
|x + 2| ≤ 7
|3 + 2| ≤ 7
|5| ≤ 7
5 ≤ 7
Note que essa é uma desigualdade verdadeira, pois 5 é menor que 7. Também é possível perceber que o número 6, por exemplo, não é solução da inequação, faremos x = 6.
|6 + 2| ≤ 7
|6 + 2| ≤ 7
|8| ≤ 7
8 ≤ 7 → absurdo, pois 8 > 7
Isso significa que 6 não é uma solução da inequação.
Exemplo 3:
3 ≤ |x+1| < 7
Nesse caso, precisamos dividir as inequações em duas:
3 ≤ |x+1| → I
|x+1| < 7 → II
Resolveremos cada uma delas separadamente, e depois faremos a análise da intersecção das suas soluções.
Resolvendo I
3 ≤ |x + 1|
1º caso: |x + 1| > 0
|x + 1| = x + 1
3 ≤ x + 1
3 – 1 ≤ x
2 ≤ x
x ≥ 2
2º caso: |x + 1| < 0
|x + 1| = - (x + 1)
3 ≤ - (x + 1) · (-1)
-3 ≥ x + 1
-3 -1 ≥ x
- 4 ≥ x
x ≤ -4
SI = {x Є R| x > 2 ou x ≤ -4}
Resolvendo II
|x + 1| < 7
1º caso: |x + 1| > 0
|x + 1| = x + 1
x + 1< 7
x < 7 – 1
x < 6
2º caso: |x + 1| < 0
|x + 1| = - (x + 1)
- (x + 1) < 7 · (-1)
x + 1 > -7
x > -7 -1
x > -8
SII = {x Є R| -8 < x < 6}
Agora é necessário encontrar a intersecção entre as duas soluções, para isso vamos recorrer à representação geométrica:
Então a solução da inequação S pode ser representada por:
S = {x Є R| -8 < x ≤ -4 ou 2 ≤ x < 6}
Acesse também: Como resolver operações com conjuntos?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Ao calcular-se o produto de todos os números naturais que são solução da inequação |x – 5| > x, ele é igual a
A) 2.
B) 3.
C) 6.
D) 25.
E) 10.
Resolução
Alternativa A
Queremos resolver a inequação |x – 5| > x
1º caso: |x – 5| > 0
|x – 5| = x – 5
x – 5 > x
-5 > x – x
-5 > 0
Note que encontramos um absurdo, pois -5 < 0, logo, no primeiro caso, não existe solução.
2º caso: |x – 5| < 0
|x – 5| = - (x – 5)
- (x – 5) > x · (-1)
x – 5 < -x
x + x < 5
2x < 5
x < 5 : 2
x < 2,5
Se x é qualquer número menor que 2,5 no conjunto de soluções, são números naturais apenas o número 1 e o número 2. Queremos o produto entre eles:
2 · 1 = 2
Questão 2 – Dada a inequação |x – 3| < 6, dos valores a seguir, aquele que não faz parte do conjunto de soluções da equação é:
A) -2
B) 2
C) -3
D) 3
Resolução
Alternativa C
Podemos resolver verificando se a desigualdade é valida ou não, substituindo os valores de x nas alternativas.
|x – 3| < 6
A) x = -2 → |-2 -3| = |-5| = 5, sabemos que 5 < 6, logo, -2 é uma solução da inequação.
B) x = 2 → |2 – 3| = |-1| = 1, sabemos que 1 < 6, logo, 2 é uma solução da inequação.
C) x = -3 → |-3 -3| = |-6| = 6, a desigualdade 6 < 6 não é verdadeira, então, -3 não é solução da inequação.
D) x = 3 → |3 – 3| = |0| = 0, sabemos que 0 < 6, então, 3 é uma solução da inequação.