Propriedades das potências

As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário.

1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base

Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

aⁿ· a^m= a^n+m

Exemplo 1:

5⁴· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 5⁶

Logo, temos que:

5⁴· 5² = 5⁴⁺²=5⁶

Se necessário, é possível encontrar a potência de 5⁶ realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.

Exemplo 2:

2³ · 2⁵· 2²=2³⁺⁵⁺²=2¹⁰

2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

aⁿ: a^m= a^{n - m}

Exemplo 1:

Logo, temos que:

2⁸: 2⁵ = 2^8-5 = 2³

Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.

Exemplo 2:

3ª propriedade – Potência de potência

Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ=a^{m · n}

Exemplo 1:

(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 5⁶

Logo, temos que:

(5³)² =5^{3 · 2} = 5⁶

Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida

Exemplo 2

(4⁵)^-3= 4^{5 · (-3)}=4^-15

4ª propriedade – Potência de um produto

Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.

(a · b)ⁿ = aⁿ· bⁿ

Exemplo:

(2 · 4)³=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 2³· 4³

Logo, temos que:

(2 · 4)³= 2³· 4³

5ª propriedade – Potência do quociente

Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.

(a : b)ⁿ= aⁿ: bⁿ

Exemplo:

(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²

Logo, temos que:

(6 : 4)² =6² : 4²

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

Casos particulares de potência

Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:

potência de uma fração;
potência de expoente igual a 0;
potência de expoente igual a 1;
potência com o expoente negativo;
potência com expoente fracionário.

→ Potência unitária

Todo número elevado a um é ele mesmo.

a¹ = a

Exemplos:

a) 123¹ = 123

b) 0,54¹ = 054

→ Potência de expoente zero

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 0⁰ é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.

a ⁰ = 1

Exemplos:

10⁰= 1
0,75⁰= 1
192392312⁰= 1

→ Potência de uma fração

Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:

Exemplos:

→ Potência com um expoente negativo

Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.

Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.

Exemplo:

Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.

Exemplo: