Ordem de grandeza

A ordem de grandeza foi criada para se estimar valores muito extensos. O valor em análise não precisa ser exato, mas ao menos aproximado. A ordem de grandeza é a potência de base 10 com expoente inteiro de uma grandeza analisada na forma de sua notação científica. Existem regras específicas para estabelecê-la.

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Resumo sobre ordem de grandeza

• A ordem de grandeza é representada por uma potência de base 10 cujo expoente é um número inteiro.

• A ordem de grandeza foi criada para se ter parâmetros de comparação entre grandezas que não possuem valores exatos.

• A notação científica é a representação simplificada de um número muito grande ou muito pequeno. Um número em notação científica pode ir de 1 a outro menor que 10 multiplicando uma potência de base 10.

• Para facilitar a representação das grandezas, foram criados os prefixos de unidade cujas grandezas estão entre 10^-24 e 10²⁴.

Ordem de grandeza e notação científica

Ordem de grandeza (OG) é a estimativa de um valor numérico representada por uma potência com base 10 e um expoente inteiro, positivo ou negativo. O conceito da ordem de grandeza está diretamente ligado ao conceito da notação científica.

\(OG=x·10n\)

A notação científica (NC) é uma forma simplificada de escrever um número que representa um valor muito grande ou muito pequeno, como o raio do planeta Terra ou o raio de um átomo. Ela é representada por um valor x que é multiplicado por uma potência de base 10 elevada a n, sendo n um número inteiro positivo ou negativo.

\(NC=x·10n\)

\(1\le x<10\)

• Se o valor numérico convertido em notação científica possui módulo entre 0 e 1 (decimal), o expoente n será negativo.

• Se o valor numérico convertido em notação científica possui módulo maior que 1 (inteiro), o expoente n será positivo.

A diferença entre a notação científica e a ordem de grandeza é que na última só se utiliza a parte da potência (10ⁿ).

→ Videoaula sobre notação científica

Quais são as regras para a ordem de grandeza?

Para estabelecer a ordem de grandeza, existem dois princípios: o da média aritmética e o da média geométrica. Para ambos os casos, utilizam-se os extremos para obter o valor de x, entre 1 e 10 (\(1\le x<10\)).

• Princípio da média aritmética

Esse princípio utiliza a média aritmética entre os extremos:

\(\frac{1+10}{2}=\frac{11}{2}=5,5\)

• Se x for menor que 5,5 (x < 5,5), o expoente será n.

• Se x for maior ou igual a 5,5 (\(x\geq5,5\)), o expoente será n + 1.

• Princípio da média geométrica

Esse princípio utiliza a média geométrica entre os extremos:

\(\sqrt{1·10}=\sqrt10=3,16\)

• Se x for menor que 3,16 (x < 3,16), o expoente será n.

• Se x for maior ou igual a 3,16 (\(x\geq3,16\)), o expoente será n + 1.

Ainda há uma divergência entre autores sobre qual método é o correto. Sendo assim, em avaliações evita-se usar valores entre 3,16 e 5,5 nas questões envolvendo ordem de grandeza.

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Como descobrir a ordem de grandeza de um número?

Para se obter a ordem de grandeza de determinado valor, é necessário seguir as etapas abaixo:

1. Convertê-lo em notação científica.

2. Analisar o valor que multiplica a potência:

• Pelo princípio da média aritmética, se o valor for menor que 5,5, a grandeza será 10ⁿ se for igual ou maior que 10ⁿ⁺¹.

• Pelo princípio da média geométrica, se o valor for menor que 3,16, a grandeza será 10ⁿ se for igual ou maior que 10ⁿ⁺¹.

Veja exemplos de cálculo a seguir.

Exemplo 1: Um guepardo é capaz de correr com velocidade de 108 km/h. Considere que ele correu durante 10 segundos. Qual é a ordem de grandeza da distância percorrida por ele em centímetros?

Resposta:

Extraindo os dados do problema:

• v = 108 km/h

• t = 10 s

• ΔS = ? em centímetros

Como o tempo está em segundos, é necessário converter a velocidade para a unidade m/s, dividindo o valor fornecido por 3,6.

\(v=\frac{108\ km/h}{3,6}=30\ m/s\)

Utilizando o conceito de velocidade, que é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la, temos:

\(v=∆St\)

Isolando o ΔS para multiplicar o tempo com a velocidade:

\(∆S=v·t=30·10=300 m\)

É necessário transformar 300 para a forma de notação cientifica. Como se trata de um valor de módulo maior que 1, o expoente será positivo.

ΔS = 300 = 3 · 100 = 3 · 10² m

Como 1 metro é igual a 100 centímetros (10² cm):

ΔS = 3 · 10² · 10² = 3 · 10⁴ cm

Pelos dois princípios das grandezas, média aritmética e geométrica, 3 é menor que 3,16 (geométrica) e 5,5 (aritmética), logo a ordem de grandeza é 10ⁿ, ou seja, 10⁴.

Exemplo 2: Um coloide é um tipo de mistura heterogênea composta por disperso (menor quantidade) e dispersante (meio onde o disperso é colocado). Os dispersos devem ter tamanhos entre 0,000000001 m e 0,000001 m. Se um determinado disperso sólido possui 0,00000087 m, qual a sua ordem de grandeza?

Resposta:

Convertendo 0,00000087 m em notação cientifica, é necessário andar com a vírgula para a direita. Logo, o expoente será negativo, porque começa multiplicando por 10⁰. Para cada casa que a vírgula se mover no sentido da direita, é necessário retirar uma unidade do expoente da base 10.

\(0,00000087.{10}^0=8,7·10-7 m\)

Para converter o valor em notação científica, a vírgula deve ser posicionada entre 8 e 7. Logo, foram movidas 7 casas para direita. Como para cada casa é subtraído 1 do expoente inicial zero:

0 – 7 = –7

O valor que multiplica a potência é 8,7, que é maior que 3,16 (média geométrica) e 5,5 (média aritmética). Logo, a ordem de grandeza será 10ⁿ⁺¹.

\({10}^{n+1}={10}^{-7+1}={10}^{-6}\ m\)

A ordem de grandeza será de 10^-6 metros.

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Quais são os prefixos e símbolos das ordens de grandezas?

A seguir, serão apresentados os símbolos das ordens de grandeza cujos exponentes vão de –24 a 24 e seus respectivos nomes.

Escala das ordens de grandeza do comprimento

Aplicando o conteúdo das escalas informadas anteriormente com o comprimento em metros (já que o Sistema Internacional de Unidades diz que o comprimento deve ser medido em metros), listamos a formação dos mais comuns na tabela a seguir.

Exercícios resolvidos sobre ordem de grandeza

Questão 1

Nos extremos da luz visível ao olho humano, há o vermelho, com comprimento de onda igual a 700 nm, e o violeta, que possui 400 nm. Qual é a ordem de grandeza da diferença entre os comprimentos de onda das cores violeta e vermelha?

a) 10^-9

b) 10⁹

c) 10

d) 10^-7

e) 10^-8

Resposta:

• Comprimento de onda do vermelho = 700 nm

• Comprimento de onda do violeta = 400 nm

• Diferença = ?

λdif = λvermelho – λvioleta = 700 – 400 = 300nm

Deve-se converter 300 nm para a forma de notação científica em metros, lembrando que nm = 10^-9 m.

λdif = 300 nm = 3 · 10² · 10^-9 = 3 · 10^-7 m

O valor que multiplica a potência é inferior a 3,16 (média geométrica) e 5,5 (média aritmética). A ordem de grandeza será 10ⁿ, portanto, 10^-7.

Gabarito: D

Questão 2

O reservatório de água de uma fábrica possui formato quadrado e arestas medindo 3 m. Para cada litro gasto são necessários 300 s. Marque a alternativa que representa a ordem de grandeza do tempo necessário para acabar com toda a água do reservatório.

Dado: 1 m³ = 1000 L

a) 10⁷

b) 10⁶

c) 10^-5

d) 10^-9

e) 10³

Resposta

Como o reservatório possui formato quadrado, o volume é dado pela medida da aresta ou lado ao cubo.

V = L³ = 3³ = 27 m³

De acordo com os dados fornecidos, 1 m³ equivale a 1000 L, logo a conversão é necessária, já que a comparação fornecida no problema foi de litros por segundos.

V = 27 · 1000 = 27 · 10³ L

Se para 1 L são necessários 300 segundos, para descobrir o preciso para 27 mil basta fazer regra de três simples.

\(1\ L\ — 300 s\)

\(27·103L — x\)

Fazendo o produto entre as diagonais superior da esquerda com inferior da direita e superior da direita com inferior da esquerda:

                                 x = \(27·103·300=27·103·3·102=81·105=8,1·106 \ segundos\)

Como 8,1 é superior a 3,16 (média geométrica) e 5,5 (média aritmética), a ordem de grandeza será 10ⁿ⁺¹.

\(x={10}^{n+1}={10}^{6+1}={10}^7 \)

Gabarito: A