Teorema de Stevin

O teorema de Stevin é a soma da pressão atmosférica sobre a superfície de um líquido com a pressão do próprio líquido; ambas estão atuando simultaneamente sobre um corpo submerso nesse mesmo líquido. Isso implica que, quando um corpo está mergulhado em um líquido, a pressão total que atua sobre ele é a combinação da pressão do ar com a pressão causada pelo peso do líquido. Utilizando o teorema de Stevin, é possível constatar que quanto mais profundo em um fluido um corpo se encontra, maior será a pressão exercida sobre ele.

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Resumo sobre teorema de Stevin

• O teorema de Stevin diz que a pressão total sobre um corpo que está imerso é a soma da pressão atmosférica com a pressão exercida pelo líquido sobre o corpo.

• Aplica-se a toda situação em que determinado fluido exerce pressão em um corpo que está em seu interior.

• Os vasos comunicantes e o teorema de Pascal são exemplos da sua aplicação.

• Vasos comunicantes são recipientes dotados de, pelo menos, duas aberturas e que são preenchidos por líquidos.

• O teorema de Pascal determina que quando um líquido está em um recipiente, toda variação de pressão que ele sofre pode ser medida em cada parte do líquido ou do recipiente.

• Pelo teorema de Stevin, quanto maior a profundida de um corpo, maior será a pressão total sobre ele.

O que diz o teorema de Stevin?

O teorema de Stevin é um método de calcular a pressão total sobre um corpo que está imerso em um fluido. Assim, o teorema diz que a pressão total sobre um corpo que está submerso equivale à soma da pressão atmosférica na superfície do líquido com a pressão exercida pelo peso do próprio líquido. Como esta última se refere à pressão de um tipo de força, o tamanho da superfície de contato também deve ser levado em conta.

Um ponto importante a ser destacado é que, para pressão atmosférica atuar sobre o líquido, o recipiente onde o líquido se encontra não pode estar tampado.

Interessante: Esse teorema ou lei foi elaborado por Simon Stevin (1548-1620), nascido onde é atualmente a Bélgica. Alistou-se no exército da Holanda, onde desenvolveu a função de engenheiro e trabalhou em diversos projetos, aprofundando-se na área da hidrostática. Publicou 11 livros com grandes contribuições para geografia, navegação e trigonometria.

Qual a fórmula do teorema de Stevin?

O teorema de Stevin determina que a pressão total (símbolo p, medida em newtons por metros quadrados N/m²) sobre um corpo que está submerso equivale à soma entre a pressão atmosférica (símbolo p₀, equivalente a 1 atm) sobre a superfície de um líquido e a pressão exercida pelo peso do líquido no qual o corpo está submerso (símbolo p_L, medida em newtons por metros quadrados N/m²).

\(p=p_0+p_L\)

Por sua vez, a pressão exercida pelo peso do líquido é dada pelo produto entre a densidade d (medida em quilograma por metro cúbico kg/m³) do líquido, a aceleração gravitacional (símbolo g, com valor médio de 9,8 m/s² no planeta Terra, porém é costume de muitos exercícios utilizar 10 m/s²) e a profundidade na qual o líquido se encontra, considerada como altura da coluna de líquido (símbolo h, medida em metros m).

\(p_L=d\cdot g\cdot h\)

Com isso, o teorema de Stevin é reescrito como:

\(p=p_0+d\cdot g\cdot h\)

A densidade da água equivale a 1000 kg/m³, 1 atm (atmosfera) vale aproximadamente 1,010⁵ N/m², em que N/me² é a unidade adotada pelo SI para pressão.

• Exemplo 1

Um recipiente de 1,5 m está totalmente cheio de um líquido cuja densidade vale 1200 kg/m³, e, no fundo dele, está uma moeda. Qual é o valor da pressão total sobre a moeda? Utilize a gravidade valendo 10 m/s².

Resolução

Extraindo os dados do problema:

p₀ = 1,010⁵ N/m²

d = 1200 kg/m³

g = 10 m/s²

h = 1,5 m

p = ?

\(p=p_0+d\cdot g\cdot h=1,01\cdot 10^5+1200\cdot 10\cdot 1,5=1,01\cdot 10^5+18000\)

Para que a soma seja possível, é necessário igualar ambos os componentes multiplicando 10⁵ ou resolver a potência. Neste caso, será utilizado o primeiro método.

18000 = 0,18·10⁵

\(p=1,01\cdot 10^5+0,18\cdot 10^5\)

\(p=1,19\cdot10^5 N/m^2\)

• Exemplo 2

Um objeto está no fundo de uma caixa d’água, onde a pressão da água sobre ele é igual a 29.400 N/m². Considerando que o valor da aceleração gravitacional é de 9,8 m/s², calcule a altura da caixa d’água.

Resolução

Extraindo os dados do problema:

p_L = 29400 N/m²

d = 1000 kg/m³

g = 9,8 m/s²

h = ?

\(p_L=d\cdot g\cdot h\)

\(29400=1000\cdot9,8\cdot h\)

\(29400=9800\cdot h\)

Invertendo ambos os lados da equação para isolar a profundidade h:

\(9800\cdot h=29400\)

\(h=\frac{29400}{9800}=3\ m\)

Quais são as aplicações do teorema de Stevin?

O teorema de Stevin pode ser aplicado em toda situação em que um corpo está imerso em um líquido, encontrando-se em determinada profundidade. Desse modo, esse teorema pode ser utilizado na construção de submarinos ou qualquer veículo ou construção que esteja imerso em uma quantidade relevante de algum tipo de líquido, como as usinas petrolíferas em alto-mar.

Os vasos comunicantes e o teorema de Pascal também são exemplos de aplicação do teorema de Stevin, como veremos a seguir.

→ Vasos comunicantes

Os vasos comunicantes são recipientes que possuem, pelo menos, duas aberturas na vertical ou diagonal, e são utilizados geralmente para comportar líquidos. Pelo fator da pressão atmosférica sobre o vaso ser a mesma, a altura do líquido é a mesma em todo o recipiente, independentemente do seu formato.

→ Teorema de Pascal

O teorema de Pascal determina que quando um fluído em repouso está contido em um recipiente, toda variação de pressão sofrida por ele é transmitida para todo o fluído e o recipiente que o comporta. Esse é o princípio de funcionamento da prensa hidráulica, utilizada para levantar objetos muito pesados.

Como foi demonstrado na figura acima, a pressão que faz com que o embolo 1 seja empurrado para baixo, é a mesma que faz com que o embolo 2 seja empurrado para cima. O teorema de Pascal é representado pela equação a seguir.

\(p_1=p_2\)

Como a pressão é a razão da força aplicada sobre a área de aplicação:

\(p=\frac{F}A\)

O teorema de Pascal é dado então por:

\(\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2} \)

Unidades de medida do teorema de Stevin

O teorema de Stevin é utilizado para calcular pressão, consequentemente, sua unidade de medida no sistema internacional de medida será a de pressão — N/m² (newton por metro quadrado) —, porém existem outros tipos de unidade de pressão, como atm (atmosfera), mmHg (milímetro de mercúrio), bar (bares), e pascal (Pa). A relação entre as unidades de medida está descrita a seguir.

1 atm = 1,01325·10⁵ N/m² = 1,01325·10⁵ Pa = 760 mmHg = 1,01325 bar

Importante: O valor 1,01325, que compõe as medidas de pressão, geralmente é aproximado para 1,01 para facilitar os cálculos e, em alguns casos, ocorre de ser aproximado até para 1.

Quais as consequências do teorema de Stevin?

O teorema de Stevin relaciona a pressão total sobre um corpo com a pressão atmosférica e a pressão exercida pelo peso da coluna de líquido, com isso é possível constatar que:

• Quanto maior a profundidade em que o corpo se encontra, maior será a pressão.

• Quanto maior a densidade do líquido em que o corpo está imerso, maior a pressão.

• Se o líquido estiver contido em um recipiente fechado, ele não sofre a ação da pressão atmosférica.

Saiba mais: Hidrodinâmica — a área da Física responsável pelo estudo do movimento dos fluidos

Exercícios resolvidos sobre teorema de Stevin

Questão 1

Em um laboratório, foi usado um recipiente de 0,8 metro e foi inserido em seu interior um objeto cilíndrico. Logo em seguida, o recipiente foi preenchido por um líquido, fazendo com que a pressão total sobre o cilindro fosse de 1,082·10⁵ N/m². Considerando a pressão atmosférica como 1,01·10⁵ N/m² e a aceleração gravitacional como 10 m/s², marque a alternativa que representa a densidade do líquido.

A) 650 kg/m³

B) 500 kg/m³

C) 1500 kg/m³

D) 900 kg/m³

E) 2000 kg/m³

Resolução:

Alternativa D

Extraindo os dados do problema:

p = 1,082·10⁵ N/m²

p₀ = 1,01·10⁵ N/m²

h = 0,8 m

d = ?

\(p=p_0+d\cdot g\cdot h\)

\(1,082\cdot10^5=1,01\cdot10^5+d\cdot10\cdot0,8\)

\(1,082\cdot10^5-1,01\cdot10^5=d\cdot8\)

\(0,072\cdot10^5=d\cdot8\)

Invertendo ambos os lados da equação para isolar a incógnita:

\(d\cdot8=0,072\cdot10^5\)

\(d=\frac{0,072\cdot10^5}8=0,009\cdot10^5\)

Resolvendo a potência:

\(d=0,009\cdot10^5=0,009\cdot100000=900\ Kg/m^3\)

Questão 2

Um lago possui 6 metros de profundidade, e no fundo dele há uma pequena salamandra descansando. Considerando que a densidade da água é igual 1000 kg/m³ e a aceleração gravitacional como 10 m/s², marque a alternativa que representa a quantidade aproximada de pressão suportada pelo anfíbio no fundo do lago.

A) 1211,5 mmHg

B) 161.000 mmHg

C) 50.000 mmHg

D) 423 mmHg

E) 13.212 mmHg

Resolução:

Alternativa A

Extraindo os dados do problema:

p = ?

p₀ = 1,01·10⁵ N/m² (Como o exercício não forneceu, será utilizado o valor aproximado.)

h = 6 m

d = 1000 kg/m³

 
\(p=p_0+d\cdot g\cdot h\)

\(p=1,01\cdot10^5+1000\cdot10\cdot6\)

\(p=101000+60000\)

\(p=161000\ \frac{N}{m^2} =1,61\cdot10^5\ N/m^2\)

Convertendo para mmHg utilizando regra de três:

\(1,61\cdot10^5\ N/m^2-------x\)

\(1,61\cdot10^5\ N/m^2-------760\ mmHg\)

\(1,01\cdot10^5\cdot x=1,61\cdot10^5\cdot760\)

Como a potência 105 está multiplicando ambos os lados da equação, ela pode ser eliminada.

\(1,01\cdot x=1223,6\)

\(x=\frac{1223,6}{1,01}=1211,48≈1211,5\ mmHg\)