Cubo

O cubo é um sólido geométrico que possui 6 faces quadradas. Como cada face é formada por quatro arestas de mesma medida, o cubo possui 12 arestas congruentes. Essas arestas se encontram nos vértices do cubo, que são 8 ao todo. Outra maneira de nomear o cubo é utilizar o termo hexaedro regular, pois esse sólido é um poliedro de seis faces regulares.

Podemos reconhecer o formato do cubo em itens diversos, como alimentos, brinquedos, embalagens e criações artesanais. Alguns exemplos são os cubos de gelo, cubos de açúcar, corte em cubos, cubo mágico e caixas cúbicas.

Leia também: Tetraedro regular — um sólido geométrico cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes

Resumo sobre cubo

• Os elementos do cubo são os vértices, as arestas e as faces.

• O cubo possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices.

• A base do cubo é um quadrado de lado a. Assim, a área da base do cubo é dada pela fórmula:

\(A_b=a^2\)

• A lateral do cubo é formada por quatro quadrados de lado a. Assim, a área da lateral do cubo é dada pela fórmula:

\(A_l=4a^2\)

• A área total do cubo corresponde à soma das áreas das seis faces. Assim, a área da lateral do cubo é dada pela fórmula:

\(A_t=6a^2\)

• O volume do cubo é obtido pelo produto entre a área da base e a altura. Isso se traduz na seguinte fórmula:

\(V=a^3\)

• A diagonal d de um cubo de aresta a é dada pela fórmula:

\(d=a\sqrt3\)

Elementos da composição do cubo

O cubo é um sólido geométrico que possui 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices.

• Vértices: A, B, C, D, E, F, G e H.

• Arestas: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG e DH.

• Faces: ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE.

Quais são as fórmulas do cubo?

Para construir as fórmulas de área e volume do cubo, devemos adotar informações sobre a área de um quadrado, uma vez que todas as faces desse sólido geométrico são quadradas.

No desenvolvimento das fórmulas, vamos considerar o cubo ABCDEFGH abaixo, em que todas as arestas medem a.

→ Área da base do cubo

A base do cubo é um quadrado. No cubo anterior, a base é a face ABCD. A medida da área de um quadrado é o produto dos lados, ou seja, \(a^2\). Assim, a área da base \((A_b )\) do cubo é obtida por

\(A_b=a^2\)

→ Área lateral do cubo

A lateral do cubo é formada por quatro faces quadradas. No cubo anterior, a lateral é composta pelas faces ABFE, BCGF, CDHG, ADHE. Assim, a área lateral (\(A_l\)) do cubo é obtida por

\(A_l=4a^2\)

→ Área total do cubo

O cubo possui seis faces quadradas. Assim, a área total (\(A_t\)) do cubo é obtida por

\(A_t=6a^2\)

→ Volume do cubo

O volume do cubo é o espaço ocupado por este sólido. Como o cubo é um prisma, seu volume é obtido pelo produto entre a área da base e a altura (distância entre as bases). Perceba que a área da base é \(a^2\) e a altura é a. Assim, o volume (V) do cubo é obtido por

\(V=a^3\)

Diagonais do cubo

Também chamada de diagonal interna, a diagonal do cubo é o segmento que une dois vértices de faces opostas percorrendo o interior do cubo. O segmento EC é uma das diagonais do cubo abaixo.

Considere o triângulo AEC. Perceba que esse triângulo é um triângulo retângulo (pois a aresta AE é perpendicular à base do cubo) com catetos AE e AC e hipotenusa EC. Sabemos que AE = a, pois é a aresta do cubo. Se encontrarmos a medida de AC, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AEC e determinar EC.

Observe que AC é a diagonal da base do cubo (também conhecida como diagonal lateral do cubo). Assim, como a base é um quadrado, a diagonal do quadrado AC é:

\(AC=a\sqrt2\)

Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AEC:

\(AE^2+AC^2=EC^2\)

\(a^2+(a\sqrt2)^2=EC^2\)

\(a^2+2a^2=EC^2\)

\(3a^2=EC^2\)

\(\sqrt{3a^2}=EC\)

\(a\sqrt3=EC\)

Logo, se d é a diagonal de um cubo de aresta a,

\(d=a\sqrt3\)

Planificação do cubo

A planificação do cubo é a representação das seis faces quadradas que compõem esse sólido geométrico em um plano.

Veja também: Dodecaedro — o sólido geométrico constituído por 12 pentágonos, 30 arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais

Exercícios resolvidos sobre cubo

Questão 1

(Unesc) A soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual a:

A) 216 cm³

B) 100 cm³

C) 40 cm³

D) 16 cm³

E) 6 cm³

Resolução:

Alternativa A.

Um cubo possui 12 arestas. Se a soma das arestas é 72 cm, então cada aresta mede 6 cm (pois 72 ÷ 12 = 6). Assim, seu volume é

\(V=6^3=216\ cm^3\)

Questão 2

(IFPR) Marque a alternativa que apresenta a área total, em cm², de um cubo cuja diagonal mede 9 cm.

A) 146

B) 162

C) 220

D) 230

Resolução:

Alternativa B.

Considere a como a medida da aresta do cubo. Se a diagonal mede 9 cm, então

\(a\sqrt3=9\)

\(a=\frac{9}{\sqrt3}\)

Assim, a área total é

\(A_t=6⋅(\frac{9}{\sqrt3})^2\)

\(A_t=6⋅(\frac{81}{3})\)

\(A_t=162\)