Inequação modular

Para compreender bem o que é uma inequação modular, é necessário saber cada um dos seus termos, ou seja, o que é uma inequação e o que é o módulo de um número. Chamamos de inequação uma expressão matemática que envolve uma desigualdade (<, ≤, >, ≥). O módulo de um número nada mais é que a distância desse número até zero, logo, ele é sempre um número positivo.

Representamos o módulo de um número n da seguinte maneira |n|. Então, inequação modular é uma expressão que possui os dois elementos, ou seja, o módulo e a desigualdade. O nosso interesse ao depararmo-nos com uma inequação modular é encontrar o seu conjunto de soluções, e, para isso, é importante compreendermos a definição do módulo.

Leia também: Quais são as propriedades das desigualdades nas inequações?

O que é uma inequação modular?

Uma inequação será conhecida como modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo.

Exemplos:

• |x| > 2

• |x+1| < -5

• 6 ≤ |2 - x|

Note que em todas as expressões existe um símbolo de desigualdade e também o símbolo do módulo. Uma inequação possui sempre um conjunto de soluções, então, resolver a inequação modular é encontrar esse conjunto de soluções.

Como resolver uma inequação modular?

Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação modular, precisamos aplicar a definição de módulo. Tendo clara a definição de módulo, é possível encontrarmos o conjunto de soluções das inequações com facilidade. Por isso, vamos lembrar que:

|x| = x → se x > 0

|x| = -x → se x < 0

Exemplo 1:

Começando por um caso bem simples, vamos encontrar a solução da inequação |x| > 3.

Para que |x| seja maior que 3, vamos separar em dois casos:

1º caso: x > 0

Se x é positivo, então |x| = x, sendo assim, queremos que x seja maior que 3.

x > 3

Note que qualquer valor maior que 3 satisfaz a equação, por exemplo: x = 4 |4| > 3. Assim, temos um conjunto de soluções, com a restrição de que x > 3.

2º caso: x < 0

Se x é negativo, nesse caso, note que -x > 3. Por outro lado, multiplicando por -1, temos que:

-x > 3 (-1)

x < -3

Então, o conjunto de solução nesse caso são valores menores que -3, por exemplo, note que -4 é solução, pois |-4| = 4, assim, |-4| > 3.

Então a solução da equação é:

S = {x Є R | x < -3 ou x > 3}

Podemos também fazer a representação geométrica dessa solução:

Veja também: Representação de subconjuntos por intervalos

Exemplo 2:

Com base agora em exemplos um pouco mais difíceis, vamos resolver a seguinte inequação:

|x + 2| ≤ 7

1º caso: x + 2 > 0

se x + 2 > 0, então, |x + 2| = x + 2, logo, teremos que:

x + 2 ≤ 7

x ≤ 7 – 2

x ≤ 5

2º caso: x + 2 < 0

se x + 2 < 0, então |x + 2| = - (x + 2), logo, teremos que:

- (x + 2) ≤ 7 → multiplicando por (-1)

x + 2 ≥ -7

x ≥ -7 -2

x ≥ -9

S = {x Є R| -9 ≤ x ≤ 5}

É importante entender que qualquer número entre -9 e 5 é solução da inequação. Escolhendo alguns desses valores como exemplos, faremos x = 3.

|x + 2| ≤ 7

|3 + 2| ≤ 7

|5| ≤ 7

5 ≤ 7

Note que essa é uma desigualdade verdadeira, pois 5 é menor que 7. Também é possível perceber que o número 6, por exemplo, não é solução da inequação, faremos x = 6.

|6 + 2| ≤ 7

|6 + 2| ≤ 7

|8| ≤ 7

8 ≤ 7 → absurdo, pois 8 > 7

Isso significa que 6 não é uma solução da inequação.

Exemplo 3:

3 ≤ |x+1| < 7

Nesse caso, precisamos dividir as inequações em duas:

3 ≤ |x+1| → I

|x+1| < 7 → II

Resolveremos cada uma delas separadamente, e depois faremos a análise da intersecção das suas soluções.

Resolvendo I

3 ≤ |x + 1|

1º caso: |x + 1| > 0

|x + 1| = x + 1

3 ≤ x + 1

3 – 1 ≤ x

2 ≤ x

x ≥ 2

2º caso: |x + 1| < 0

|x + 1| = - (x + 1)

3 ≤ - (x + 1) · (-1)

-3 ≥ x + 1

-3 -1 ≥ x

- 4 ≥ x

x ≤ -4

S_I = {x Є R| x > 2 ou x ≤ -4}

Resolvendo II

|x + 1| < 7

1º caso: |x + 1| > 0

|x + 1| = x + 1

x + 1< 7

x < 7 – 1

x < 6

2º caso: |x + 1| < 0

|x + 1| = - (x + 1)

- (x + 1) < 7 · (-1)

x + 1 > -7

x > -7 -1

x > -8

S_II = {x Є R| -8 < x < 6}

Agora é necessário encontrar a intersecção entre as duas soluções, para isso vamos recorrer à representação geométrica:

Então a solução da inequação S pode ser representada por:

S = {x Є R| -8 < x ≤ -4 ou 2 ≤ x < 6}

Acesse também: Como resolver operações com conjuntos?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Ao calcular-se o produto de todos os números naturais que são solução da inequação |x – 5| > x, ele é igual a

A) 2.

B) 3.

C) 6.

D) 25.

E) 10.

Resolução

Alternativa A

Queremos resolver a inequação |x – 5| > x

1º caso: |x – 5| > 0

|x – 5| = x – 5

x – 5 > x

-5 > x – x

-5 > 0

Note que encontramos um absurdo, pois -5 < 0, logo, no primeiro caso, não existe solução.

2º caso: |x – 5| < 0

|x – 5| = - (x – 5)

- (x – 5) > x · (-1)

x – 5 < -x

x + x < 5

2x < 5

x < 5 : 2

x < 2,5

Se x é qualquer número menor que 2,5 no conjunto de soluções, são números naturais apenas o número 1 e o número 2. Queremos o produto entre eles:

2 · 1 = 2

Questão 2 – Dada a inequação |x – 3| < 6, dos valores a seguir, aquele que não faz parte do conjunto de soluções da equação é:

A) -2

B) 2

C) -3

D) 3

Resolução

Alternativa C

Podemos resolver verificando se a desigualdade é valida ou não, substituindo os valores de x nas alternativas.

|x – 3| < 6

A) x = -2 → |-2 -3| = |-5| = 5, sabemos que 5 < 6, logo, -2 é uma solução da inequação.

B) x = 2 → |2 – 3| = |-1| = 1, sabemos que 1 < 6, logo, 2 é uma solução da inequação.

C) x = -3 → |-3 -3| = |-6| = 6, a desigualdade 6 < 6 não é verdadeira, então, -3 não é solução da inequação.

D) x = 3 → |3 – 3| = |0| = 0, sabemos que 0 < 6, então, 3 é uma solução da inequação.