Média harmônica

O estudo da média harmônica (incluindo-se as médias geométrica, aritmética simples ou aritmética ponderada) é, para a estatística, uma ferramenta importante, pois é com base nela que conseguimos representar um conjunto de dados por um único valor. Há outras medidas centrais que fazem esse mesmo papel, que são a mediana e a moda.

Quando trabalhamos com grandezas inversamente proporcionais, uma média interessante para a representação do conjunto de dados é a harmônica, que, junto à média aritmética e à média geométrica, é conhecida como média pitagórica. Situações como o cálculo de velocidade média são bastante comuns para o uso de média harmônica, e há problemas como de escoamento de água ou até mesmo de densidade que podem ser resolvidos por ela. Descrevemos a média harmônica como a quantidade de elementos no conjunto, divida pela soma do inverso dos elementos do conjunto.

Quando se usa a média harmônica?

A busca por um valor que representa todo o conjunto é bastante comum, na estatística, para tomadas de decisões. No entanto, há várias opções para representação de um valor central, sendo elas: a média aritmética ponderada, a média aritmética simples, a média geométrica, a mediana e a moda, e a própria média harmônica.

Cada uma delas é conveniente em uma determinada situação. Perceba que não existe uma medida central universalmente mais precisa para representar o valor central do conjunto, o que precisamos levar em consideração é a situação que estamos analisando para fazer a melhor escolha de medida central.

A escolha pelo uso da média harmônica para representação da média de um conjunto está ligada a situações que envolvem grandezas inversamente proporcionais, por exemplo a velocidade média, a vazão da água, a densidade, entre outras aplicações na física e na química. Algumas fórmulas da física, na verdade, surgem da média harmônica.

Leia também: Média, moda e mediana – medidas de posição em estatística

Fórmula da média harmônica

Então, para calcularmos a média harmônica de um conjunto de dados, precisamos lembrar o que é o inverso de um número.

Seja x um número qualquer, o inverso de x é representado por:

Observação: Caso o número seja uma fração, para encontrar o inverso dele, basta invertermos o numerador com o denominador.

Definimos a média harmônica de um conjunto (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) com n elementos e todos diferentes de zero. A média é calculada pela divisão de n pela soma dos inversos dos elementos. A fórmula é descrita, então, da seguinte maneira:

M_h: média harmônica

n: quantidade de elementos

Como se calcula a média harmônica?

Por exemplo, dado um conjunto A (2, 3, 5, 6, 9), como ele possui cinco elementos, a média harmônica de A é calculada por:

Para realizar a soma de frações, é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores:

O m.m.c (2, 3, 5, 6, 9) é igual a 90, logo, é possível realizar a soma das frações no denominador:

Veja também: Frequência relativa: como calcular?

Aplicações da média harmônica

De forma geral, a média harmônica pode ser aplicada em qualquer conjunto numérico de dados, porém existem situações específicas em que ela se torna a melhor opção a ser utilizada. Vale ressaltar a importância de analisar se os dados que estamos trabalhando na situação são inversamente proporcionais.

Segue alguns exemplos de situações-problemas envolvendo média harmônica.

Exemplo 1: Aplicação no cálculo da velocidade média.

Um carro realiza um percurso duas vezes. Na ida, ele faz o percurso com uma velocidade v₁ = 80 km/h. Na volta, ele realiza o mesmo percurso com velocidade de v₂ = 120 km/h. Qual foi a velocidade média ao juntar-se ida e volta?

Análise:

Primeiro o que precisa ficar claro é o motivo de usarmos a média harmônica. Note que a distância é a mesma, para a ida e para a volta, o que muda é a velocidade e, consequentemente, o tempo. Se eu aumento a velocidade, o tempo que eu levo para percorrer uma mesma distância diminuirá, logo, essas grandezas são inversamente proporcionais. Quando eu estou trabalhando com grandezas inversamente proporcionais, utilizamos a média harmônica.

Resolução:

Aplicando na fórmula com n = 2:

Calculando o m.m.c (120, 80):

Então temos que:

Exemplo 2: Vazão de torneiras.

Para encher um tanque, uma torneira leva 12 horas. Para encher esse mesmo tanque, outra torneira leva 6 horas. Caso as duas torneiras fossem abertas ao mesmo tempo, quanto tempo elas levariam para encher o tanque?

Análise:

Vazão e tempo são grandezas inversamente proporcionais, pois, quanto maior a vazão da torneira, menor será o tempo que ela levará para encher o tanque. Desse modo, utilizaremos a média harmônica para encontrarmos o tempo das duas torneiras.

Resolução:

Nesse caso é necessário tomar bastante cuidado, pois 8 horas é o tempo, em média, de cada uma das duas torneiras. Como elas serão ligadas simultaneamente em um único tanque, precisamos dividir esse tempo por 2, pois cada torneira leva, em média, 8 horas, então podemos concluir que o tempo de espera com as duas torneiras ligadas seria de 4 horas.

8 ÷ 2 = 4 horas

Exemplo 3: Aplicação para densidade.

Tem-se três substâncias A, B e C em estado líquido de densidades 2,4 g/cm³ e 3,6 g/cm³ e 3 g/cm³. Caso elas sejam misturadas, com a mesma massa de cada uma delas, qual seria a densidade dessa mistura?

Análise:

Sabemos que a densidade é inversamente proporcional ao volume e que, nesse caso, a massa é sempre fixa. Assim, o que está variando é a densidade: se aumenta-se a densidade, o volume diminui-se, o que mostra que, nesse caso, convém usar média harmônica.

Resolução:

Para facilitar a resolução, vamos primeiro reescrever os números decimais em frações. Vale ressaltar que o inverso de uma fração é a troca do numerador e do denominador de lugar:

Acesse também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Para evitar o rompimento de uma barragem, foi desenvolvido um plano de drenagem para escoar todo os resíduos que estavam nela. Para o escoamento, existem dois tipos de dreno. Um deles é movido a gás e leva 144 horas para escoar todos os resíduos, o outro é movido à bateria e leva 240 horas para a mesma ação. Sabendo-se que os dois sistemas de drenagem trabalham com um escoamento constante e que, numa hipótese de ação emergencial, eles sejam ativados simultaneamente, qual será o tempo gasto, em dias, para escoar-se todo o resíduo?

a) 7 dias e 12 horas

b) 3 dias e 6 horas

c) 8 dias

d) 10 dias

e) 6 dias e 4 horas

Resolução

1º passo:

Como há dois tipos de dreno, chamaremos de t₁ o tempo de escoamento do primeiro e de t₂ o tempo de escoamento do segundo. Como o tempo gasto está dado em horas, e a questão o pediu em dias, t₁ e t₂ serão divididos por 24 horas, para sabermos quantos dias cada um deles levaria.

t₁ = 144 : 24 = 6 dias

t₂ = 240 : 24 = 10 dias

2º passo:

Calcular a média harmônica:

3º passo:

Dividir a média harmônica por dois e transformar a parte decimal em horas:

7,5 dias é o tempo médio, mas, como os dois drenos funcionarão simultaneamente, o tempo gasto será metade desse valor.

7,5 : 2 = 3,25 dias. Sabemos que 3,25 é o mesmo que 3 dias e 0,25 de um dia. Para converter em horas: 24 . 0,25 = 6 horas, então o tempo gasto será de 3 dias e 6 horas.

Alternativa E

Questão 2 - Em um laboratório, duas misturas líquidas foram preparadas usando-se como base duas substâncias distintas. A substância A possui densidade d = 0,6 g/cm³ e a substância B possui densidade d = 1,1 g/cm³. Caso seja pego mesma porção de massa tanto para a substância A quanto para a substância B, a densidade dessa mistura, em g/cm³, será:

a) Maior que 0,8

b) Entre 0,7 e 0,75

c) Entre 0,75 e 0,8

d) Entre 0,75 e 0,6

e) Menor que 0,75

Resolução:

Calculando-se a média harmônica, temos que:

Alternativa C