Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice

Toda parábola pode ser usada como representação geométrica de alguma função na forma f(x) = ax² + bx + c, que é chamada de função do segundo grau. Toda função do segundo grau pode possuir a concavidade voltada para cima, e consequentemente um ponto de mínimo, ou a concavidade voltada para baixo, e consequentemente um ponto de máximo. Esse ponto de mínimo (ou de máximo) é chamado de vértice da parábola.

Seja V o vértice de uma parábola e (x_v, y_v) suas coordenadas, as fórmulas usadas para encontrar essas coordenadas são:

Para demonstrar essas fórmulas, é necessário conhecer uma outra técnica que também pode ser usada pra encontrar as coordenadas do vértice.

Coordenadas do vértice

Observe os pontos em destaque, vértice e raízes, na figura a seguir.

Perceba que a coordenada x do vértice (x_v) fica no ponto médio do segmento entre as raízes da parábola, portanto, para encontrar a coordenada x_v, podemos calcular a média aritmética entre as raízes da função:

Note também que a imagem da função aplicada no ponto x_v é justamente y_v, ou seja, f(x_v) = y_v.

Tendo essas informações como base, podemos realizar alguns cálculos simples para encontrar as fórmulas usadas para calcular x_v e y_v.

Demonstrações das fórmulas

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos usar a fórmula de Bháskara para determinar as fórmulas de x_v e y_v. Sabendo que as raízes de uma função do segundo grau podem ser encontradas da seguinte maneira:

Logo,

Lembre-se de que:

Podemos, então, substituir os valores de x₁ e x₂ para encontrar:

Que é justamente a fórmula usada para determinar x_v.

A fórmula usada para determinar y_v pode ser obtida ao encontrar a imagem da função no ponto x_v:

Substituindo o valor de x_v, temos:

Para finalizar, basta fazer o procedimento adequado de adição (e subtração) de frações. Esse procedimento depende do mínimo múltiplo comum.