Polinômios

Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos:

• 5
  Coeficiente: 5
  Parte literal: Qualquer variável elevada a zero, ou seja, x⁰ = 1 → 5 . x⁰
  Operadores aritméticos: Multiplicação

• 2 . x . y
  Coeficiente: 2
  Parte literal: a . y
  Operadores aritméticos: Multiplicação

• 3 . x . y + (4 . x : 2 . x)
  Coeficiente: 3, 4 e 2
  Parte literal: x .y e x
  Operadores aritméticos: Adição, multiplicação e divisão.

• {[(2 . x + 6 . x)² – 5] + 3 . y – 1 . x}
  Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6
  Parte literal: x e y
  Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação.

Classificação de Polinômios

Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos:

• Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos:

⇒ 2 . x . y

⇒ 6

⇒ 12 . x²

• Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos:

⇒ 4 . x . y + 5 . x

⇒ 34 . z + 12 . x

⇒ 105 . z + 25 . z²

• Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos:

⇒ 2 . x . y + 2x - y³
                    3

⇒ x. z⁴ + 25 – z . x

⇒ 2 . w + 12 . x – 5 . w²

• Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por:

  a_n x_n+a_(n-1) x_(n-1)+...+a₂ x₂+a₁ x+a

Grau de um Polinômio

• Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplos:

⇒ 2 . x² + 3 . x

Variável: x
Maior expoente em relação à variável x: 2
Grau: Polinômio de 2° grau

⇒ 3 . z + 4 + 5 . z³

Variável: z
Maior expoente em relação à variável z: 3
Grau: Polinômio de 3° grau

• Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:

3 + 12 . x . y – 2 . x . y²
Grau do monômio: x¹ . Y¹ → 1 + 1 = 2
Grau do monômio: x . y² → 1 + 2 = 3

Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y²), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y²) é de terceiro grau.

Tipos de Polinômio

Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto.

• Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Veja:

⇒ 3. x⁵ + 2 . x⁴ – x³ + 12 . x² + 5 . x¹ – 2 . x⁰

Observe que os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0.

• Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja:

⇒ 3. x⁵ + 5 . x¹ – 2 . x⁰

A forma completa desse polinômio seria: 3. x⁵ + 0 . x⁴ – 0 . x³ + 0 . x² + 5 . x¹ – 2 . x⁰. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x⁴, x³ e x². Por esse motivo, o polinômio é incompleto.