Sistemas lineares de equações: método da substituição

Em Matemática, recebe o nome de sistema um conjunto de equações em que as variáveis representadas por uma mesma letra possuem o mesmo valor. Uma das formas mais conhecidos e usadas para encontrar os valores numéricos dessas incógnitas é o método da substituição. Por esse método, encontramos o valor algébrico de uma das incógnitas para, em seguida, substituirmos esse valor na outra equação.

Os sistemas com duas equações e duas incógnitas são representados por uma equação sobre a outra dentro de uma “{”, como no exemplo a seguir:

Nesse exemplo, temos que x = 20 e y = 10 para ambas as equações.

Para demonstrar como encontrar resultados de sistemas pelo método da substituição, faremos o seguinte passo a passo:

Solução de sistemas pelo método da substituição

Passo 1: Escolher uma incógnita e calcular seu valor algébrico.

O valor algébrico é encontrado quando uma incógnita é isolada. Qualquer incógnita, em qualquer uma das equações, pode ser escolhida, entretanto, escolher uma incógnita com coeficiente 1 facilita muito os cálculos.

Observe, por exemplo, o sistema abaixo. Nele, optamos por encontrar o valor algébrico da incógnita y na primeira equação.

Passo 2: Substituir o valor algébrico da incógnita na outra equação.

É muito importante que essa substituição seja feita na equação que ainda não foi usada, pois, só assim o resultado será encontrado. No caso do exemplo, como usamos a primeira equação para calcular o valor algébrico de y, então usaremos a segunda equação para substituir esse valor. Assim, onde aparecer y, colocaremos (40 – 2x) no lugar:

Passo 3: Calcular o valor numérico de uma das incógnitas.

Observe que, ao substituir o valor numérico de y na segunda equação do exemplo, o resultado foi uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Por meio da resolução dessa equação, encontraremos o valor numérico de x.

1ª Obs.: Sempre que escolhermos uma incógnita para encontrar o valor algébrico, a outra terá seu valor numérico revelado primeiro.

2ª Obs.: Se o valor algébrico de y for substituído na mesma equação usada para encontrá-lo, o resultado será algo do tipo 0 = 0 ou 1 = 1.

Passo 4: Substituir o valor numérico de x em qualquer uma das duas equações e encontrar o valor numérico de y.

Sugerimos que a equação com coeficientes menores seja escolhida para facilitar os cálculos. No exemplo, escolhemos a primeira equação:

A solução dos sistemas geralmente é representada por um par ordenado ou pela notação de conjuntos com a mesma ordem dos pares ordenados: S = {x,y}. No caso do exemplo acima: S = {15, 10}.

2º Exemplo: Encontre a solução do sistema a seguir:

Solução: Primeiramente, escolha uma incógnita para isolar. Para esse sistema, isolaremos y na primeira equação. Observe os cálculos na seguinte imagem:

Por meio dos passos 2 e 3, substitua y na outra equação e encontre o valor numérico de x, como na imagem:

Após encontrar o valor numérico de x, escolha uma das equações para cumprir o quarto e último passo: obter o valor numérico de y. Escolhemos, para isso, a primeira equação. Observe:

A solução desse sistema é S = {5, 2}.